三角関数例

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} = 0$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$

ステップ 2.2

$\frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(\cos (x) + 1) \sin (x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1}$ に $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(\cos (x) + 1) \sin (x)} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

ステップ 2.3.2

$\frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(\cos (x) + 1) \sin (x)} + \frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.3.3

$(\cos (x) + 1) \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)} + \frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)$ を展開します。

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ステップ 2.5.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) (\cos (x) + 1) - 1 (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 - 1 (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.3

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.5.3.1

$\cos (x) \cdot 1$ と $- 1 \cos (x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.3.2

$1 \cos (x)$ から $1 \cos (x)$ を引きます。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + 0 - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.3.3

$\cos (x) \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.5.4.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.4.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.4.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.4.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.5

$\cos^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.6

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.7

$- 1$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.8

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.9

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.10

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.5.11

$\sin^{2} (x)$ から $\sin^{2} (x)$ を引きます。

$\frac{0}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.6

$0$ を $\sin (x) (\cos (x) + 1)$ で割ります。

$0$

ステップ 3

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} = 0$ は公式です

三角関数 例

三角関数例