三角関数例

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \cot (x) + \sec (x) \csc (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2

分数をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2.2

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ に $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ に $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.3.3

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.1.2

$\tan (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.1.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.2

$\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 6.1

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.1.1

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.1.1.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.1.2

$- \sin (x)$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 0 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.1.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.1.4

$\sin (x)$ を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.4.1

$\sin (x)$ を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.1.4.2

$\sin (x)$ を $\sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.1.4.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.1.5

$\cos (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.1.7

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 7.1.7.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.1.7.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.1.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.1.7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.2

$\sin (x)$ と $\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.4

まとめる。

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.5

$\sin (x)$ と ${\sin (x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.1

$\sin (x)$ を $\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.2.1

$\sin (x)$ を $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

ステップ 7.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

ステップ 7.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 7.6

$1 + {\cos (x)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 8

ここで、方程式の右辺を考えます。

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x)$

ステップ 9

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 9.1

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sec (x) \csc (x)$

ステップ 9.2

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x)$

ステップ 9.3

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 10

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 11

分数をたし算します。

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ステップ 11.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 11.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sin (x) \cos (x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 11.2.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 11.2.2

$\sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 11.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 12

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 14

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \cot (x) + \sec (x) \csc (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例