三角関数例

$\sin^{3} (t) + \cos^{3} (t) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t) = \sin (t) + \cos (t)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\sin^{3} (t) + \cos^{3} (t) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

ステップ 2

因数分解。

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ステップ 2.1

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sin (t)$ であり、 $b = \cos (t)$ です。

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin^{2} (t) - \sin (t) \cos (t) + \cos^{2} (t)) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

項を並べ替えます。

$(\sin (t) + \cos (t)) (- \sin (t) \cos (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

ステップ 2.2.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$(\sin (t) + \cos (t)) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\sin (t) + \cos (t)) (- \sin (t) \cos (t) + 1)$ を展開します。

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ステップ 3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\sin (t) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

ステップ 3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\sin (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

ステップ 3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\sin (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

ステップ 3.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$\sin (t) (- \sin (t) \cos (t))$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1.1

$\sin (t)$ を $1$ 乗します。

$- ({\sin (t)}^{1} \sin (t)) \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

ステップ 3.1.2.1.2

$\sin (t)$ を $1$ 乗します。

$- ({\sin (t)}^{1} {\sin (t)}^{1}) \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

ステップ 3.1.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- {\sin (t)}^{1 + 1} \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

ステップ 3.1.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

ステップ 3.1.2.2

$\sin (t)$ に $1$ をかけます。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

ステップ 3.1.2.3

$\cos (t) (- \sin (t) \cos (t))$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.3.1

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) ({\cos (t)}^{1} \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

ステップ 3.1.2.3.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) ({\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

ステップ 3.1.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{1 + 1} + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

ステップ 3.1.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

ステップ 3.1.2.4

$\cos (t)$ に $1$ をかけます。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

ステップ 3.2

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t)$ と ${\sin (t)}^{2} \cos (t)$ をたし算します。

$\sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + 0$

ステップ 3.3

$\sin (t)$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \sin (t)$

ステップ 3.4

$- \sin (t) {\cos (t)}^{2}$ と $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ をたし算します。

$0 + \cos (t) + \sin (t)$

ステップ 3.5

$0$ と $\cos (t)$ をたし算します。

$\cos (t) + \sin (t)$

ステップ 4

$\cos (t) + \sin (t)$ を $\sin (t) + \cos (t)$ に書き換えます。

$\sin (t) + \cos (t)$

ステップ 5

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\sin^{3} (t) + \cos^{3} (t) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t) = \sin (t) + \cos (t)$ は公式です

三角関数 例

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