三角関数例

$\frac{\sec (t) - 1}{\tan (t)} = \frac{\tan (t)}{\sec (t) + 1}$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\frac{\tan (t)}{\sec (t) + 1}$

ステップ 2

$\frac{\tan (t)}{\sec (t) + 1}$ に $\frac{- \sec (t) + 1}{- \sec (t) + 1}$ をかけます。

$\frac{\tan (t)}{\sec (t) + 1} \cdot \frac{- \sec (t) + 1}{- \sec (t) + 1}$

ステップ 3

まとめる。

$\frac{\tan (t) (- \sec (t) + 1)}{(\sec (t) + 1) (- \sec (t) + 1)}$

ステップ 4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\tan (t) (- \sec (t)) + \tan (t) \cdot 1}{(\sec (t) + 1) (- \sec (t) + 1)}$

ステップ 4.2

$\tan (t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\tan (t) (- \sec (t)) + \tan (t)}{(\sec (t) + 1) (- \sec (t) + 1)}$

ステップ 4.3

$\tan (t) (- \sec (t)) + \tan (t)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{(\sec (t) + 1) (- \sec (t) + 1)}$

ステップ 5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\sec (t) + 1) (- \sec (t) + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{\sec (t) (- \sec (t) + 1) + 1 (- \sec (t) + 1)}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{\sec (t) (- \sec (t)) + \sec (t) \cdot 1 + 1 (- \sec (t) + 1)}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{\sec (t) (- \sec (t)) + \sec (t) \cdot 1 + 1 (- \sec (t)) + 1 \cdot 1}$

ステップ 5.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{- \sec^{2} (t) + 1}$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 1$ を $- \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{- (\sec^{2} (t)) + 1}$

ステップ 6.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{- \sec^{2} (t) - 1 \cdot - 1}$

ステップ 6.3

$- 1$ を $- \sec^{2} (t) - 1 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{- (\sec^{2} (t) - 1)}$

ステップ 6.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \tan (t) \sec (t) + \tan (t)}{- \tan^{2} (t)}$

ステップ 7

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

商の恒等式を利用して $\tan (t)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \sec (t) + \tan (t)}{- \tan^{2} (t)}$

ステップ 7.2

$\sec (t)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \tan (t)}{- \tan^{2} (t)}$

ステップ 7.3

商の恒等式を利用して $\tan (t)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{- \tan^{2} (t)}$

ステップ 7.4

商の恒等式を利用して $\tan (t)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{- {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2}}$

ステップ 7.5

積の法則を $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ に当てはめます。

$\frac{- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{- \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}}$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.2

$- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\frac{1}{\cos (t)}$ に $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ をかけます。

$(- \frac{\sin (t)}{\cos (t) \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1} \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.2.3

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.3

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ を掛けます。

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${\cos (t)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ に $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ をかけます。

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t) \cos (t)}{\cos (t) \cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.4.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t) \cos (t)}{{\cos (t)}^{1} \cos (t)}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.4.3

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t) \cos (t)}{{\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t) \cos (t)}{{\cos (t)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t) \cos (t)}{{\cos (t)}^{2}}) (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sin (t) + \sin (t) \cos (t)}{{\cos (t)}^{2}} (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.6

$\sin (t)$ を $- \sin (t) + \sin (t) \cos (t)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

$\sin (t)$ を $- \sin (t)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (t) \cdot - 1 + \sin (t) \cos (t)}{{\cos (t)}^{2}} (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.6.2

$\sin (t)$ を $\sin (t) \cos (t)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (t) \cdot - 1 + \sin (t) (\cos (t))}{{\cos (t)}^{2}} (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.6.3

$\sin (t)$ を $\sin (t) \cdot - 1 + \sin (t) (\cos (t))$ で因数分解します。

$\frac{\sin (t) (- 1 + \cos (t))}{{\cos (t)}^{2}} (- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}})$

ステップ 8.7

$\sin (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1

$- \frac{{\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\sin (t) (- 1 + \cos (t))}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (t)}^{2}}{{\sin (t)}^{2}}$

ステップ 8.7.2

$\sin (t)$ を ${\sin (t)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (t) (- 1 + \cos (t))}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (t)}^{2}}{\sin (t) \sin (t)}$

ステップ 8.7.3

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (t) (- 1 + \cos (t))}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (t)}^{2}}{\sin (t) \sin (t)}$

ステップ 8.7.4

式を書き換えます。

$\frac{- 1 + \cos (t)}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (t)}^{2}}{\sin (t)}$

ステップ 8.8

${\cos (t)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.1

${\cos (t)}^{2}$ を $- {\cos (t)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 1 + \cos (t)}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (t)}^{2} \cdot - 1}{\sin (t)}$

ステップ 8.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 + \cos (t)}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (t)}^{2} \cdot - 1}{\sin (t)}$

ステップ 8.8.3

式を書き換えます。

$(- 1 + \cos (t)) \frac{- 1}{\sin (t)}$

ステップ 8.9

分数の前に負数を移動させます。

$(- 1 + \cos (t)) (- \frac{1}{\sin (t)})$

ステップ 8.10

分配則を当てはめます。

$- 1 (- \frac{1}{\sin (t)}) + \cos (t) (- \frac{1}{\sin (t)})$

ステップ 8.11

$- 1 (- \frac{1}{\sin (t)})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.11.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{\sin (t)} + \cos (t) (- \frac{1}{\sin (t)})$

ステップ 8.11.2

$\frac{1}{\sin (t)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sin (t)} + \cos (t) (- \frac{1}{\sin (t)})$

ステップ 8.12

$\cos (t)$ と $\frac{1}{\sin (t)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sin (t)} - \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

ステップ 9

ここで、方程式の左辺を考えます。

$\frac{\sec (t) - 1}{\tan (t)}$

ステップ 10

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\sec (t)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} - 1}{\tan (t)}$

ステップ 10.2

商の恒等式を利用して $\tan (t)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} - 1}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(\frac{1}{\cos (t)} - 1) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} - 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

ステップ 11.3

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} - 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

ステップ 11.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sin (t)} - 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

ステップ 11.4

$- 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ を $- \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sin (t)} - \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

ステップ 12

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\sec (t) - 1}{\tan (t)} = \frac{\tan (t)}{\sec (t) + 1}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例