三角関数例

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = \cos (2 x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

項を並べ替えます。

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

ステップ 2.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 2.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 2.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \tan (x)$ です。

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 2.3.3.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 2.4

分母を簡約します。

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ステップ 2.4.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 2.4.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.6

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ を展開します。

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ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$(1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$(1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.1.2

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.1.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.1.5

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.7.1.5.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.1.5.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.1.5.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.1.5.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.1.5.7

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.1.5.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.1.5.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.2

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をたし算します。

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.7.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$(1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

ステップ 2.8

分配則を当てはめます。

$1 \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

ステップ 2.9

$\cos^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

ステップ 2.10

$\cos^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.10.1

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

ステップ 2.10.2

共通因数を約分します。

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

ステップ 2.10.3

式を書き換えます。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 2.11

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 x)$

ステップ 3

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = \cos (2 x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例