三角関数例

$\frac{1 - \cot^{2} (x)}{1 + \cot^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x) = 1$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1 - \cot^{2} (x)}{1 + \cot^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1 - \cot^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} - \cot^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cot (x)$ です。

$\frac{(1 + \cot (x)) (1 - \cot (x))}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.2.3

簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \cot (x))}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.2.3.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.3

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.3.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}} + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.3.2

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}} + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\frac{1}{\sin^{2} (x)}} + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ を展開します。

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ステップ 2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$(1 (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.5.2

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.1.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.6.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$(1 + 1 (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.1.2

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.1.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.1.5

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.6.1.5.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.1.5.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.1.5.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.1.5.6

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.1.5.7

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.1.5.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.1.5.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.2

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をたし算します。

$(1 + 0 - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.6.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$(1 - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.7

分配則を当てはめます。

$1 \sin^{2} (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.8

$\sin^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\sin^{2} (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.9

$\sin^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.9.1

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\sin^{2} (x) + \frac{- \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.9.2

共通因数を約分します。

$\sin^{2} (x) + \frac{- \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.9.3

式を書き換えます。

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.2

$- \cos^{2} (x)$ と $2 \cos^{2} (x)$ をたし算します。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 2.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1$

ステップ 3

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1 - \cot^{2} (x)}{1 + \cot^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x) = 1$ は公式です

三角関数 例

三角関数例