三角関数例

$\frac{1}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2

分数をたし算します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{1 - \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$ に $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{1 - \cos (x)}$ に $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.3.3

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \cos (x) + 1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 - \cos (x) + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.2

$- \cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\frac{2 + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.3

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{2}{1 - \cos^{2} (x)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{2}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6

$\frac{2}{\sin^{2} (x)}$ を $2 \csc^{2} (x)$ に書き換えます。

$2 \csc^{2} (x)$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例