三角関数例

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2

分数を引き算します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2.2

$- \frac{1}{1 - \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$ に $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{1 - \cos (x)}$ に $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.3.3

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \cos (x) - (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) - 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 - \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.3

$0$ から $\cos (x)$ を引きます。

$\frac{- \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.4

$- \cos (x)$ から $\cos (x)$ を引きます。

$\frac{- 2 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8

まとめる。

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

ステップ 9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

ステップ 10

${\sin (x)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 12

ここで、方程式の右辺を考えます。

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

ステップ 13

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 13.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

ステップ 13.2

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$- 2$ と $\frac{1}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 14.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 14.3

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 14.3.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{2}{\sin (x)}$ をかけます。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 14.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

ステップ 14.3.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

ステップ 14.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

ステップ 14.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 14.4

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 15

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例