三角関数例

$\cos (\frac{19 π}{12})$

ステップ 1

まず、6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。この場合、 $\frac{19 π}{12}$ は $\frac{5 π}{4} + \frac{π}{3}$ に分割することができます。

$\cos (\frac{5 π}{4} + \frac{π}{3})$

ステップ 2

余弦の和の公式を利用して式を簡約します。公式は $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ ということが述べられています。

$\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 3

括弧を削除します。

$\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.5

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 4.7

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 4.8

$- \frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

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ステップ 4.8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.8.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.8.3

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.8.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.8.5

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.8.6

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

ステップ 5.2

$- 1$ を $- \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (\sqrt{2}) + \sqrt{6}}{4}$

ステップ 5.3

$- 1$ を $\sqrt{6}$ で因数分解します。

$\frac{- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{6})}{4}$

ステップ 5.4

$- 1$ を $- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{6})$ で因数分解します。

$\frac{- (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{4}$

ステップ 5.5

式を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ を $- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{4}$

ステップ 5.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

10進法形式：

$0.25881904 \dots$

三角関数 例

三角関数例