三角関数例

$2 \cos^{2} (22.5) - 1$

ステップ 1

$\cos (22.5)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

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ステップ 1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $22.5$ を書き直します。

$2 \cos^{2} (\frac{45}{2}) - 1$

ステップ 1.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$2 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2} - 1$

ステップ 1.3

余弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$2 {\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}}^{2} - 1$

ステップ 1.4

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$2 {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

ステップ 1.5

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

ステップ 1.5.2

公分母の分子をまとめます。

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

ステップ 1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} - 1$

ステップ 1.5.4

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.5.4.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} - 1$

ステップ 1.5.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2} - 1$

ステップ 1.5.5

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - 1$

ステップ 1.5.6

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - 1$

ステップ 1.5.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2} - 1$

ステップ 2

積の法則を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ に当てはめます。

$2 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - 1$

ステップ 3

${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ を $2 + \sqrt{2}$ に書き換えます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ を ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 1$

ステップ 3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 1$

ステップ 3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

ステップ 3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

ステップ 3.4.2

式を書き換えます。

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - 1$

ステップ 3.5

簡約します。

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}} - 1$

ステップ 4

$2$ を $2$ 乗します。

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{4} - 1$

ステップ 5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1$

ステップ 6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 9

因数分解した形で $\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$ を書き換えます。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 + \sqrt{2} - 2}{2}$

ステップ 9.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0 + \sqrt{2}}{2}$

ステップ 9.3

$0$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

10進法形式：

$0.70710678 \dots$

三角関数 例

三角関数例