三角関数例

$f (x) = - 2 \cos (3 x)$

ステップ 1

$f (x) = - 2 \cos (3 x)$ を方程式で書きます。

$y = - 2 \cos (3 x)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = - 2 \cos (3 y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $- 2 \cos (3 y) = x$ として書き換えます。

$- 2 \cos (3 y) = x$

ステップ 3.2

$- 2 \cos (3 y) = x$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 2 \cos (3 y) = x$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \cos (3 y)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \cos (3 y)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

ステップ 3.2.2.1.2

$\cos (3 y)$ を $1$ で割ります。

$\cos (3 y) = \frac{x}{- 2}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (3 y) = - \frac{x}{2}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2})$

ステップ 3.4

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2})$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2})$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

ステップ 3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$ が $f (x) = - 2 \cos (3 x)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (- 2 \cos (3 x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- 2 \cos (3 x)}{2})}{3}$

ステップ 5.2.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$2$ を $- 2 \cos (3 x)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x))}{2})}{3}$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x))}{2 (1)})}{3}$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x))}{2 \cdot 1})}{3}$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (3 x)}{1})}{3}$

ステップ 5.2.3.2.4

$- \cos (3 x)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (\cos (3 x))}{3}$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3})$ の値を求めます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}))$

ステップ 5.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}))$

ステップ 5.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}))$

ステップ 5.3.4

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 (- \frac{x}{2})$

ステップ 5.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.1

$- \frac{x}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 \frac{- x}{2}$

ステップ 5.3.5.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

ステップ 5.3.5.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

ステップ 5.3.5.4

式を書き換えます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 1 (- x)$

ステップ 5.3.6

掛け算します。

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ステップ 5.3.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = 1 x$

ステップ 5.3.6.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$ は $f (x) = - 2 \cos (3 x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

三角関数 例

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