三角関数例

${(- 1 - 2 i)}^{6}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

${(- 1)}^{6} + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 1$ を $6$ 乗します。

$1 + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$1 + 6 \cdot - 1 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 6 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.4

$- 2$ に $- 6$ をかけます。

$1 + 12 i + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.5

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 + 12 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.6

$15$ に $1$ をかけます。

$1 + 12 i + 15 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.7

積の法則を $- 2 i$ に当てはめます。

$1 + 12 i + 15 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.8

$- 2$ を $2$ 乗します。

$1 + 12 i + 15 (4 i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.9

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 12 i + 15 (4 \cdot - 1) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.10

$15 (4 \cdot - 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 12 i + 15 \cdot - 4 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.10.2

$15$ に $- 4$ をかけます。

$1 + 12 i - 60 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.11

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 + 12 i - 60 + 20 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.12

$20$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 12 i - 60 - 20 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.13

積の法則を $- 2 i$ に当てはめます。

$1 + 12 i - 60 - 20 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.14

$- 2$ を $3$ 乗します。

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.15

$i^{2}$ を因数分解します。

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.16

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.17

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.18

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$1 + 12 i - 60 - 20 (8 i) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.19

$8$ に $- 20$ をかけます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.20

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.21

$15$ に $1$ をかけます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.22

積の法則を $- 2 i$ に当てはめます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.23

$- 2$ を $4$ 乗します。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.24

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.24.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(i^{2})}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.24.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(- 1)}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.24.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 \cdot 1) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.25

$15 (16 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.25.1

$16$ に $1$ をかけます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 16 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.25.2

$15$ に $16$ をかけます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.26

$6$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.27

積の法則を $- 2 i$ に当てはめます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 ({(- 2)}^{5} i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.28

$- 2$ を $5$ 乗します。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.29

$i^{4}$ を因数分解します。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (i^{4} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.30

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.30.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.30.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(- 1)}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.30.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (1 i)) + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.31

$i$ に $1$ をかけます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i) + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.32

$- 32$ に $- 6$ をかけます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2 i)}^{6}$

ステップ 2.1.33

積の法則を $- 2 i$ に当てはめます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2)}^{6} i^{6}$

ステップ 2.1.34

$- 2$ を $6$ 乗します。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{6}$

ステップ 2.1.35

$i^{4}$ を因数分解します。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (i^{4} i^{2})$

ステップ 2.1.36

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.36.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(i^{2})}^{2} i^{2})$

ステップ 2.1.36.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(- 1)}^{2} i^{2})$

ステップ 2.1.36.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (1 i^{2})$

ステップ 2.1.37

$i^{2}$ に $1$ をかけます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{2}$

ステップ 2.1.38

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 \cdot - 1$

ステップ 2.1.39

$64$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i - 64$

ステップ 2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1$ から $60$ を引きます。

$- 59 + 12 i - 160 i + 240 + 192 i - 64$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 59$ と $240$ をたし算します。

$181 + 12 i - 160 i + 192 i - 64$

ステップ 2.2.2.2

$181$ から $64$ を引きます。

$117 + 12 i - 160 i + 192 i$

ステップ 2.2.3

$12 i$ から $160 i$ を引きます。

$117 - 148 i + 192 i$

ステップ 2.2.4

$- 148 i$ と $192 i$ をたし算します。

$117 + 44 i$

ステップ 3

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5

$a = 117$ と $b = 44$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{44^{2} + 117^{2}}$

ステップ 6

$| z |$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$44$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{1936 + 117^{2}}$

ステップ 6.2

$117$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{1936 + 13689}$

ステップ 6.3

$1936$ と $13689$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{15625}$

ステップ 6.4

$15625$ を $125^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

ステップ 6.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 125$

ステップ 7

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{44}{117})$

ステップ 8

$\frac{44}{117}$ の逆正接が第一象限で角を作るので、角の値は $0.35970699$ です。

$θ = 0.35970699$

ステップ 9

$θ = 0.35970699$ と $| z | = 125$ の値を代入します。

$125 (\cos (0.35970699) + i \sin (0.35970699))$

三角関数 例

三角関数例