三角関数例

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} - 24 y - 36 = 0$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $36$ を足します。

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} - 24 y = 36$

ステップ 1.2

$9 x^{2} - 36 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 36$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 18}{9}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 18$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$9$ を $- 18$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$d = - 2$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 36$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$1296$ を $36$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 36$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $36$ をかけます。

$e = 0 - 36$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $36$ を引きます。

$e = - 36$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ に代入します。

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

ステップ 1.3

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$ を方程式 $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} - 24 y = 36$ の中の $9 x^{2} - 36 x$ に代入します。

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - 4 y^{2} - 24 y = 36$

ステップ 1.4

両辺に $36$ を加えて、 $- 36$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = 36 + 36$

ステップ 1.5

$- 4 y^{2} - 24 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$- 24$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $- 24$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 12}{- 4}$

ステップ 1.5.3.2.2

$- 12$ と $- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$- 4$ を $- 12$ で因数分解します。

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.2.1

$- 4$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$d = 3$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$- 24$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$576$ を $- 16$ で割ります。

$e = 0 - - 36$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 36$ をかけます。

$e = 0 + 36$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ と $36$ をたし算します。

$e = 36$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ に代入します。

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

ステップ 1.6

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ を方程式 $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} - 24 y = 36$ の中の $- 4 y^{2} - 24 y$ に代入します。

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = 36 + 36$

ステップ 1.7

両辺に $36$ を加えて、 $36$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36 + 36 - 36$

ステップ 1.8

$36 + 36 - 36$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$36$ と $36$ をたし算します。

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

ステップ 1.8.2

$72$ から $36$ を引きます。

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

ステップ 1.9

各項を $36$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(2, - 3)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + 9}$

ステップ 5.3.3

$4$ と $9$ をたし算します。

$\sqrt{13}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(4, - 3)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, - 3)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(4, - 3), (0, - 3)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2 + \sqrt{13}, - 3)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2 - \sqrt{13}, - 3)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(2 + \sqrt{13}, - 3), (2 - \sqrt{13}, - 3)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

ステップ 8.3.3

$4$ と $9$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

ステップ 9.3.2

$\frac{9}{\sqrt{13}}$ に $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ をかけます。

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

ステップ 9.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$\frac{9}{\sqrt{13}}$ に $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ をかけます。

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

ステップ 9.3.3.2

$\sqrt{13}$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

ステップ 9.3.3.3

$\sqrt{13}$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

ステップ 9.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6

${\sqrt{13}}^{2}$ を $13$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{13}$ を $13^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

ステップ 9.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$

ステップ 11.2

$\frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 2) - 3$

ステップ 11.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 2 - 3$

ステップ 11.2.1.3

$\frac{3}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 2 - 3$

ステップ 11.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 1)) - 3$

ステップ 11.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) - 3$

ステップ 11.2.1.4.3

式を書き換えます。

$y = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 1 - 3$

ステップ 11.2.1.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{3 x}{2} - 3 - 3$

ステップ 11.2.2

$- 3$ から $3$ を引きます。

$y = \frac{3 x}{2} - 6$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$

ステップ 12.2

$- \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 2) - 3$

ステップ 12.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 2 - 3$

ステップ 12.2.1.3

$x$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 2 - 3$

ステップ 12.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.4.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 2 - 3$

ステップ 12.2.1.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 1)) - 3$

ステップ 12.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) - 3$

ステップ 12.2.1.4.4

式を書き換えます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 1 - 3$

ステップ 12.2.1.5

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 3 - 3$

ステップ 12.2.1.6

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{3 x}{2} + 3 - 3$

ステップ 12.2.2

$- \frac{3 x}{2} + 3 - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$3$ から $3$ を引きます。

$y = - \frac{3 x}{2} + 0$

ステップ 12.2.2.2

$- \frac{3 x}{2}$ と $0$ をたし算します。

$y = - \frac{3 x}{2}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{3 x}{2} - 6, y = - \frac{3 x}{2}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(2, - 3)$

頂点： $(4, - 3), (0, - 3)$

焦点： $(2 + \sqrt{13}, - 3), (2 - \sqrt{13}, - 3)$

偏心： $\frac{\sqrt{13}}{2}$

焦点のパラメータ： $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

漸近線： $y = \frac{3 x}{2} - 6$ 、 $y = - \frac{3 x}{2}$

ステップ 15

三角関数 例

三角関数例