三角関数例

$\tan (- 105)$

ステップ 1

まず、6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。この場合、 $- 105$ は $45 - 150$ に分割することができます。

$\tan (45 - 150)$

ステップ 2

正接の差分の公式を利用して式を簡約します。公式は $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ ということが述べられています。

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

ステップ 3

括弧を削除します。

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

ステップ 4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\tan (45)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

ステップ 4.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1 - - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

ステップ 4.3

$\tan (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

ステップ 4.4

$- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

ステップ 4.4.2

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

ステップ 4.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

ステップ 5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\tan (45)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (150)}$

ステップ 5.2

$\tan (150)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (150)}$

ステップ 5.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (30)}$

ステップ 5.4

$\tan (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

ステップ 5.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

ステップ 5.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

ステップ 6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

ステップ 7

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$(3 + \sqrt{3}) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

ステップ 8

$\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ に $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ をかけます。

$(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

ステップ 9

項を簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ に $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ をかけます。

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

ステップ 9.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 9.3

簡約します。

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

ステップ 9.4

分配則を当てはめます。

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

ステップ 9.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

ステップ 9.5.2

共通因数を約分します。

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

ステップ 9.5.3

式を書き換えます。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

ステップ 9.6

$\sqrt{3}$ と $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ をまとめます。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

ステップ 10

各項を簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

ステップ 10.2

$3$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

ステップ 10.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

ステップ 10.4

各項を簡約します。

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ステップ 10.4.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

ステップ 10.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

ステップ 10.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + 3}{6}$

ステップ 10.5

$3 \sqrt{3} + 3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.1

$3$ を $3 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6}$

ステップ 10.5.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6}$

ステップ 10.5.3

$3$ を $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ で因数分解します。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6}$

ステップ 10.5.4

共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.4.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)}$

ステップ 10.5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2}$

ステップ 10.5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

ステップ 11

項を簡約します。

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ステップ 11.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}$

ステップ 11.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

ステップ 11.3

$\sqrt{3}$ と $\sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 11.4

$4 + 2 \sqrt{3}$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 11.4.2

$2$ を $2 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

ステップ 11.4.3

$2$ を $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

ステップ 11.4.4

共通因数を約分します。

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ステップ 11.4.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

ステップ 11.4.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.4.4.3

式を書き換えます。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

ステップ 11.4.4.4

$2 + \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$2 + \sqrt{3}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 + \sqrt{3}$

10進法形式：

$3.73205080 \dots$

三角関数 例

三角関数例