三角関数例

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)} = 0$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$

ステップ 2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ を掛けます。

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} \cdot \frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$

ステップ 2.2

$\frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ を掛けます。

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} \cdot \frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)} \cdot \frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ に $\frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ をかけます。

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))}{(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)} \cdot \frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ に $\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ をかけます。

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))}{(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))} + \frac{(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.3.3

$(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))} + \frac{(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \cos (y)) - \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (y) \cos (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.2

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (y) \cos (x) - \cos (y) \cos (y)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$\cos (x) \cos (y)$ と $- \cos (y) \cos (x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (x) \cos (y) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.2.2

$\cos (x) \cos (y)$ から $\cos (x) \cos (y)$ を引きます。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + 0 - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.2.3

$\cos (x) \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.3.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.3.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.3.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.3.2

$- \cos (y) \cos (y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.2.1

$\cos (y)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) - (\cos^{1} (y) \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.3.2.2

$\cos (y)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) - (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.3.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos^{2} (x) - {\cos (y)}^{1 + 1} + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.3.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.4

分配法則（FOIL法）を使って $(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) (\sin (x) + \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (y) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.5

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$\sin (x) \sin (y)$ と $- \sin (y) \sin (x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.5.2

$\sin (x) \sin (y)$ から $\sin (x) \sin (y)$ を引きます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + 0 - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.5.3

$\sin (x) \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.1

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.6.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.6.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + {\sin (x)}^{1 + 1} - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.6.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.6.2

$- \sin (y) \sin (y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.1

$\sin (y)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.6.2.2

$\sin (y)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (y) \sin^{1} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.6.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - {\sin (y)}^{1 + 1}}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.6.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7

因数分解した形で $\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (y)$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.1

項を再分類します。

$\frac{- \cos^{2} (y) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.2

項を並べ替えます。

$\frac{- \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \cos^{2} (y) + 1 - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.4

因数分解した形で $1 - \sin^{2} (y)$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- \cos^{2} (y) + 1^{2} - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (y)$ です。

$\frac{- \cos^{2} (y) + (1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.5

$- 1$ を $- \cos^{2} (y) + (1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.5.1

$- 1$ を $- \cos^{2} (y)$ で因数分解します。

$\frac{- (\cos^{2} (y)) + (1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.5.2

$- 1$ を $(1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))$ で因数分解します。

$\frac{- (\cos^{2} (y)) - ((- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.5.3

$- 1$ を $- (\cos^{2} (y)) - ((- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y)))$ で因数分解します。

$\frac{- (\cos^{2} (y) + (- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1 - \sin (y)) - \sin (y) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (y)) - \sin (y) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (y)) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.7.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 - 1 (- \sin (y)) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.7.1.2

$- 1 (- \sin (y))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.7.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + 1 \sin (y) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.7.1.2.2

$\sin (y)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.7.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.7.1.4

$- \sin (y) (- \sin (y))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.7.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + 1 \sin (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.7.1.4.2

$\sin (y)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.7.1.4.3

$\sin (y)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin^{1} (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.7.1.4.4

$\sin (y)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin^{1} (y) \sin^{1} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.7.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + {\sin (y)}^{1 + 1})}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.7.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.7.2

$\sin (y)$ から $\sin (y)$ を引きます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + 0 + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.7.3

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.8

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1) + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.9

$- 1$ を $\sin^{2} (y)$ で因数分解します。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.10

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (y))$ で因数分解します。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1 - \sin^{2} (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.11

$- 1 (1 - \sin^{2} (y))$ を $- (1 - \sin^{2} (y))$ に書き換えます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - (1 - \sin^{2} (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.12

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - \cos^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.5.7.13

$\cos^{2} (y)$ から $\cos^{2} (y)$ を引きます。

$\frac{- 0}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

ステップ 2.7

$0$ を $(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))$ で割ります。

$0$

ステップ 3

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)} = 0$ は公式です

三角関数 例

三角関数例