三角関数例

$\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)} = \csc (x) + \cot (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x)}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 3.3

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 4

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ に $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 5

まとめる。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

ステップ 6.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

ステップ 7

分母を簡約します。

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ステップ 7.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 7.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 7.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

ステップ 7.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

ステップ 8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\sin (x)$ を $\sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 9.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 9.1.2

$\sin (x)$ を $\sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 9.1.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 9.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 10

ここで、方程式の右辺を考えます。

$\csc (x) + \cot (x)$

ステップ 11

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 11.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)$

ステップ 11.2

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 13

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)} = \csc (x) + \cot (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例