三角関数例

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2} = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ を $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ に書き換えます。

$(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$\tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x))$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x))$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x)$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

$\tan^{2} (x) + 2 \cot (x) \tan (x) + \cot^{2} (x)$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\sec^{2} (x) - 1 + 2 \cot (x) \tan (x) + \cot^{2} (x)$

ステップ 4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sec^{2} (x) - 1^{2} + 2 \cot (x) \tan (x) + \cot^{2} (x)$

ステップ 4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sec (x)$ であり、 $b = 1$ です。

$(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1) + 2 \cot (x) \tan (x) + \cot^{2} (x)$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1) + 2 \cot (x) \tan (x) + \csc^{2} (x) - 1$

ステップ 6

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\sec (x) - 1) + 2 \cot (x) \tan (x) + \csc^{2} (x) - 1$

ステップ 6.2

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \cot (x) \tan (x) + \csc^{2} (x) - 1$

ステップ 6.3

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \tan (x) + \csc^{2} (x) - 1$

ステップ 6.4

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \csc^{2} (x) - 1$

ステップ 6.5

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1$

ステップ 6.6

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.1.1.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.1.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{- 1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.1.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.2

$- \frac{1}{\cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${\cos (x)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.3.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.3.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.3.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${\cos (x)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.6.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.6.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.6.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - 1 \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.9

$- 1$ と $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.2.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

$- \cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\frac{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.3.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cos (x)$ です。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.4

$2$ と $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.5

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.1

$\cos (x)$ を $2 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.5.3

式を書き換えます。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{2}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.6

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{2}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.6.2

式を書き換えます。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + 2 + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.1.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + 2 + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.4.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.4.2.1.2

$- \cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.4.2.1.3

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.4.2.1.4

$\cos (x) (- \cos (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.4.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.4.2.1.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.4.2.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.4.2.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.4.2.2

$- \cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\frac{1 + 0 - {\cos (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.4.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 - {\cos (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.4.3

$- {\cos (x)}^{2}$ と $2 {\cos (x)}^{2}$ をたし算します。

$\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.5

$\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.6

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

$\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ に $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.7.2

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ に $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - 1$

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.9

分子を簡約します。

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ステップ 7.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.9.2

${\sin (x)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1$

ステップ 7.10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1 \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.11

$- 1$ と $\frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + \frac{- ({\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} - ({\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.13

分子を簡約します。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 8

ここで、方程式の右辺を考えます。

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

ステップ 9

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 9.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

ステップ 9.2

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 9.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 9.4

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 10

各項を簡約します。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 11

分数をたし算します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 11.2

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 11.3.1

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ に $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ に $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.3

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 11.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 12

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2} = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例