三角関数例

$\cot (x) \sec^{4} (x) = \cot (x) + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\cot (x) + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan^{3} (x)$

ステップ 2.3

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3}$

ステップ 2.4

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$2$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

ステップ 3.2

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

ステップ 3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${\cos (x)}^{3}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) {\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

ステップ 3.3.2

指数を足して $\cos (x)$ に ${\cos (x)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

$\cos (x)$ に ${\cos (x)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.3.2.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

ステップ 3.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

ステップ 3.3.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{3}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

ステップ 3.5

$\sin (x)$ を $2 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1

$\sin (x)$ を $2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2}) + {\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

ステップ 3.5.2

$\sin (x)$ を ${\sin (x)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2}) + \sin (x) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{3}}$

ステップ 3.5.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2}) + \sin (x) {\sin (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$

ステップ 3.6

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ を掛けます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$

ステップ 3.7

$\frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sin (x) {\cos (x)}^{3}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.8.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3}}{\sin (x) {\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.8.2

$\frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$ に $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3}}{\sin (x) {\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}) \sin (x)}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)}$

ステップ 3.8.3

$\sin (x) {\cos (x)}^{3}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}) \sin (x)}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)}$

ステップ 3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3} + \sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}) \sin (x)}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)}$

ステップ 3.10

分子を簡約します。

$\frac{{(\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}^{2}}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

ステップ 4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$\frac{{(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}^{2}}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

ステップ 4.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

ステップ 5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

ステップ 6

$\frac{1}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$ を $\cot (x) \sec^{4} (x)$ に書き換えます。

$\cot (x) \sec^{4} (x)$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cot (x) \sec^{4} (x) = \cot (x) + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例