三角関数例

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$

ステップ 2

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$ に $\frac{- \sec (x) - 1}{- \sec (x) - 1}$ をかけます。

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{- \sec (x) - 1}{- \sec (x) - 1}$

ステップ 3

まとめる。

$\frac{\tan (x) (- \sec (x) - 1)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) + \tan (x) \cdot - 1}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

ステップ 4.2

$- 1$ を $\tan (x)$ の左に移動させます。

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) - 1 \cdot \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

ステップ 4.3

$- 1 \tan (x)$ を $- \tan (x)$ に書き換えます。

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) - \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

ステップ 4.4

$\tan (x) (- \sec (x)) - \tan (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)$ を展開します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x) - 1) - 1 (- \sec (x) - 1)}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1 - 1 (- \sec (x) - 1)}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1 - 1 (- \sec (x)) - 1 \cdot - 1}$

ステップ 5.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

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ステップ 6.1

$- 1$ を $- \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

ステップ 6.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

ステップ 6.3

$- 1$ を $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

ステップ 6.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

ステップ 7

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 7.1

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

ステップ 7.2

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

ステップ 7.3

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \tan^{2} (x)}$

ステップ 7.4

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 7.5

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.2

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.2.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.2.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.3

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${\cos (x)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.4.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{\cos (x) \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.4.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.6

$- \sin (x)$ を $- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 8.6.1

$- \sin (x)$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.6.2

$- \sin (x)$ を $- \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.6.3

$- \sin (x)$ を $- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.7

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.7.1

$- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.7.2

$\sin (x)$ を $- \sin (x) (1 + \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.7.3

$\sin (x)$ を ${\sin (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 8.7.4

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 8.7.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x)}$

ステップ 8.8

${\cos (x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.8.1

${\cos (x)}^{2}$ を $- {\cos (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

ステップ 8.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

ステップ 8.8.3

式を書き換えます。

$- 1 (1 + \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

ステップ 8.9

分配則を当てはめます。

$(- 1 \cdot 1 - 1 \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

ステップ 8.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(- 1 - 1 \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

ステップ 8.11

$- 1 \cos (x)$ を $- \cos (x)$ に書き換えます。

$(- 1 - \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

ステップ 8.12

分数の前に負数を移動させます。

$(- 1 - \cos (x)) (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 8.13

分配則を当てはめます。

$- 1 (- \frac{1}{\sin (x)}) - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 8.14

$- 1 (- \frac{1}{\sin (x)})$ を掛けます。

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ステップ 8.14.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 8.14.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 8.15

$- \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$ を掛けます。

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 9

ここで、方程式の左辺を考えます。

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$

ステップ 10

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 10.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\tan (x)}$

ステップ 10.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 11.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 11.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 11.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 12

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例