三角関数例

$\csc^{4} (x) - \cot^{4} (x) = \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\csc^{4} (x) - \cot^{4} (x)$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$\csc^{4} (x)$ を ${(\csc^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

${(\csc^{2} (x))}^{2} - \cot^{4} (x)$

ステップ 2.2

$\cot^{4} (x)$ を ${(\cot^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

${(\csc^{2} (x))}^{2} - {(\cot^{2} (x))}^{2}$

ステップ 2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \csc^{2} (x)$ であり、 $b = \cot^{2} (x)$ です。

$(\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

ステップ 2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + \cot^{2} (x)) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

ステップ 2.4.2

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

ステップ 2.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$(\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

ステップ 2.4.4

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

ステップ 2.4.5

積の法則を $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$(\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

ステップ 2.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$(\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \cdot 1$

ステップ 2.6

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3

ここで、方程式の右辺を考えます。

$\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

ステップ 4

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 4.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + \cot^{2} (x)$

ステップ 4.2

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 4.3

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 4.4

積の法則を $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\csc^{4} (x) - \cot^{4} (x) = \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例