三角関数例

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)}$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}{\tan (x)}$

ステップ 2.1.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\tan (x)}$

ステップ 2.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.5

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.6

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.6.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.7

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.7.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 2.7.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 2.7.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 2.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 2.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 2.7.6

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}$

ステップ 2.7.7

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}$

ステップ 2.7.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

ステップ 2.7.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を $\csc^{2} (x)$ に書き換えます。

$\csc^{2} (x)$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例