三角関数例

$\sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

ステップ 2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = \arcsin (1)$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 4

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x = π$

ステップ 5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{2}$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

ステップ 6.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

ステップ 6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2 (π - \frac{π}{2})$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 6.2.2.1.2

項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 6.2.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.2.2.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.2.2.1.2.3.2

式を書き換えます。

$x = π \cdot 2 - π$

$x = π \cdot 2 - π$

$x = π \cdot 2 - π$

ステップ 6.2.2.1.3

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = 2 π - π$

ステップ 6.2.2.1.4

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

$x = π$

$x = π$

$x = π$

$x = π$

ステップ 7

$\sin (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 7.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

$4 π$

ステップ 8

$\sin (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$