三角関数例

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc (x)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.2

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sin (x) (1 - \cos (x))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.3.3

$(1 - \cos (x)) \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 1.1.5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.1.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.5.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.2.1.2

$- \cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.2.1.4

$- \cos (x) (- \cos (x))$ を掛けます。

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ステップ 1.1.5.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.2.1.4.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.2.1.4.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.2.1.4.4

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.2.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.2.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.2.2

$- \cos (x)$ から $\cos (x)$ を引きます。

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.3

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.1.5.3.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.4

因数分解した形で $1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$ を書き換えます。

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ステップ 1.1.5.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.4.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1 - 2 \cos (x) + 1}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.4.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.4.4

$2$ を $2 - 2 \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.5.4.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.4.4.2

$2$ を $- 2 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.5.4.4.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.6

$1 - \cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = 2 \csc (x)$

ステップ 1.1.6.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{\sin (x)} = 2 \csc (x)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \csc (x)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{2}{\sin (x)} = 2 \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 2.1.2

$2$ と $\frac{1}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{2}{\sin (x)} = \frac{2}{\sin (x)}$

ステップ 3

方程式の両辺に $\sin (x)$ を掛けます。

$\sin (x) \frac{2}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{2}{\sin (x)}$

ステップ 4

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\sin (x) \frac{2}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{2}{\sin (x)}$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$2 = \sin (x) \frac{2}{\sin (x)}$

ステップ 5

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$2 = \sin (x) \frac{2}{\sin (x)}$

ステップ 5.2

式を書き換えます。

$2 = 2$

ステップ 6

$2 = 2$ なので、方程式は $x$ の値について常に真になります。

すべての実数

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

すべての実数

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

三角関数 例

三角関数例