三角関数例

$\sec^{2} (x) + 2 \tan (x) = 0$

ステップ 1

$\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ で置き換えます。

$(1 + \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x) = 0$

ステップ 2

多項式を並べ替えます。

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + 1 = 0$

ステップ 3

$u$ を $\tan (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

ステップ 4

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

ステップ 4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 4.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 4.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u + 1)}^{2} = 0$

ステップ 5

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 6

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 7

$\tan (x)$ を $u$ に代入します。

$\tan (x) = - 1$

ステップ 8

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 9

右辺を簡約します。

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ステップ 9.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 10

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 11

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 11.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 11.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 12

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 12.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 12.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 12.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 13

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 13.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 13.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 13.3

分数をまとめます。

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ステップ 13.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 13.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 13.4

分子を簡約します。

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ステップ 13.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 13.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 13.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 14

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

答えをまとめます。

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例