三角関数例

$\log_{5} (x + 1) - \log_{5} (x - 1) = \log_{5} (x)$

ステップ 1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{5} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \log_{5} (x)$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$\frac{x + 1}{x - 1} = x$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x - 1, 1$

ステップ 3.1.2

括弧を削除します。

$x - 1, 1$

ステップ 3.1.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x - 1$

ステップ 3.2

$\frac{x + 1}{x - 1} = x$ の各項に $x - 1$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{x + 1}{x - 1} = x$ の各項に $x - 1$ を掛けます。

$\frac{x + 1}{x - 1} (x - 1) = x (x - 1)$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x + 1}{x - 1} (x - 1) = x (x - 1)$

ステップ 3.2.2.1.2

式を書き換えます。

$x + 1 = x (x - 1)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1$

ステップ 3.2.3.1.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1$

ステップ 3.2.3.1.2.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x$

ステップ 3.2.3.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x + 1 = x^{2} - x$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} - x = x + 1$

ステップ 3.3.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x^{2} - x - x = 1$

ステップ 3.3.2.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} - 2 x = 1$

ステップ 3.3.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

ステップ 3.3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.3.5

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.6

簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.3.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.6.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.6.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.6.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.6.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3.6.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 3.3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

ステップ 4

$\log_{5} (x + 1) - \log_{5} (x - 1) = \log_{5} (x)$ が真にならない解を除外します。

$x = 1 + \sqrt{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = 1 + \sqrt{2}$

10進法形式：

$x = 2.41421356 \dots$

三角関数 例

三角関数例