三角関数例

$4 \cos^{2} (4 x) - 3 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$4 \cos^{2} (4 x) = 3$

ステップ 2

$4 \cos^{2} (4 x) = 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$4 \cos^{2} (4 x) = 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \cos^{2} (4 x)}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cos^{2} (4 x)}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 2.2.1.2

$\cos^{2} (4 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (4 x) = \frac{3}{4}$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (4 x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 4.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 6

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 7

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$4 x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$4 x = \frac{π}{6}$

ステップ 7.3

$4 x = \frac{π}{6}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$4 x = \frac{π}{6}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

ステップ 7.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

ステップ 7.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

ステップ 7.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 7.3.3.2

$\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.1

$\frac{π}{6}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

ステップ 7.3.3.2.2

$6$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{π}{24}$

ステップ 7.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$4 x = 2 π - \frac{π}{6}$

ステップ 7.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$4 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.5.1.2

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$4 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$4 x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 7.5.1.4

$6$ に $2$ をかけます。

$4 x = \frac{12 π - π}{6}$

ステップ 7.5.1.5

$12 π$ から $π$ を引きます。

$4 x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 7.5.2

$4 x = \frac{11 π}{6}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1

$4 x = \frac{11 π}{6}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

ステップ 7.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

ステップ 7.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

ステップ 7.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 7.5.2.3.2

$\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.3.2.1

$\frac{11 π}{6}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$x = \frac{11 π}{6 \cdot 4}$

ステップ 7.5.2.3.2.2

$6$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{11 π}{24}$

ステップ 7.6

$\cos (4 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.6.2

周期の公式の $b$ を $4$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

ステップ 7.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\frac{2 π}{4}$

ステップ 7.6.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.4.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{2 (π)}{4}$

ステップ 7.6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.6.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.6.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 7.7

$\cos (4 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{2}$ なので、両方向で $\frac{π}{2}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$4 x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{5 π}{6}$ です。

$4 x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 8.3

$4 x = \frac{5 π}{6}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$4 x = \frac{5 π}{6}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

ステップ 8.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

ステップ 8.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

ステップ 8.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 8.3.3.2

$\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.2.1

$\frac{5 π}{6}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 4}$

ステップ 8.3.3.2.2

$6$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{24}$

ステップ 8.4

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$4 x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

ステップ 8.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$4 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

ステップ 8.5.1.2

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$4 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

ステップ 8.5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$4 x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

ステップ 8.5.1.4

$6$ に $2$ をかけます。

$4 x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

ステップ 8.5.1.5

$12 π$ から $5 π$ を引きます。

$4 x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 8.5.2

$4 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.2.1

$4 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

ステップ 8.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

ステップ 8.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

ステップ 8.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 8.5.2.3.2

$\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.2.3.2.1

$\frac{7 π}{6}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 4}$

ステップ 8.5.2.3.2.2

$6$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{24}$

ステップ 8.6

$\cos (4 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.6.2

周期の公式の $b$ を $4$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

ステップ 8.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\frac{2 π}{4}$

ステップ 8.6.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.4.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{2 (π)}{4}$

ステップ 8.6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.6.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.6.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 8.7

$\cos (4 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{2}$ なので、両方向で $\frac{π}{2}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

解をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ と $\frac{π}{24} + \frac{π n}{4}$ を $\frac{π}{24} + \frac{π n}{2}$ にまとめます。

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.2

$\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ と $\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{4}$ を $\frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}$ にまとめます。

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{4}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例