三角関数例

$\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

ステップ 1

$\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\tan^{4} (x)$ を ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

${(\tan^{2} (x))}^{2} - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

ステップ 1.2

$u = \tan^{2} (x)$ とします。 $u$ を $\tan^{2} (x)$ に代入します。

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 20 u + 64$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $64$ で、その和が $- 20$ です。

$- 16, - 4$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 16) (u - 4) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $\tan^{2} (x)$ で置き換えます。

$(\tan^{2} (x) - 16) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

ステップ 1.5

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$(\tan^{2} (x) - 4^{2}) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

ステップ 1.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \tan (x)$ であり、 $b = 4$ です。

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

ステップ 1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 2^{2}) = 0$

ステップ 1.8

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \tan (x)$ であり、 $b = 2$ です。

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) ((\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2)) = 0$

ステップ 1.8.2

不要な括弧を削除します。

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (x) + 4 = 0$

$\tan (x) - 4 = 0$

$\tan (x) + 2 = 0$

$\tan (x) - 2 = 0$

ステップ 3

$\tan (x) + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\tan (x) + 4$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) + 4 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\tan (x) + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$\tan (x) = - 4$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 4)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$\arctan (- 4)$ の値を求めます。

$x = - 1.32581766$

ステップ 3.2.4

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - 1.32581766 - (3.14159265)$

ステップ 3.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$2 π$ に $- 1.32581766 - (3.14159265)$ をたし算します。

$x = - 1.32581766 - (3.14159265) + 2 π$

ステップ 3.2.5.2

$1.81577498$ の結果の角度は正で $- 1.32581766 - (3.14159265)$ と隣接します。

$x = 1.81577498$

ステップ 3.2.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2.7

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

$π$ を $- 1.32581766$ に足し、正の角を求めます。

$- 1.32581766 + π$

ステップ 3.2.7.2

10進法の概算で置き換えます。

$3.14159265 - 1.32581766$

ステップ 3.2.7.3

$3.14159265$ から $1.32581766$ を引きます。

$1.81577498$

ステップ 3.2.7.4

新しい角をリストします。

$x = 1.81577498$

ステップ 3.2.8

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\tan (x) - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\tan (x) - 4$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) - 4 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\tan (x) - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$\tan (x) = 4$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (4)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$\arctan (4)$ の値を求めます。

$x = 1.32581766$

ステップ 4.2.4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

ステップ 4.2.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 1.32581766$

ステップ 4.2.5.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

ステップ 4.2.5.3

$3.14159265$ と $1.32581766$ をたし算します。

$x = 4.46741031$

ステップ 4.2.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\tan (x) + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\tan (x) + 2$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) + 2 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\tan (x) + 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\tan (x) = - 2$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 2)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$\arctan (- 2)$ の値を求めます。

$x = - 1.10714871$

ステップ 5.2.4

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

ステップ 5.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$2 π$ に $- 1.10714871 - (3.14159265)$ をたし算します。

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

ステップ 5.2.5.2

$2.03444393$ の結果の角度は正で $- 1.10714871 - (3.14159265)$ と隣接します。

$x = 2.03444393$

ステップ 5.2.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.2.7

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

$π$ を $- 1.10714871$ に足し、正の角を求めます。

$- 1.10714871 + π$

ステップ 5.2.7.2

10進法の概算で置き換えます。

$3.14159265 - 1.10714871$

ステップ 5.2.7.3

$3.14159265$ から $1.10714871$ を引きます。

$2.03444393$

ステップ 5.2.7.4

新しい角をリストします。

$x = 2.03444393$

ステップ 5.2.8

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\tan (x) - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\tan (x) - 2$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) - 2 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\tan (x) - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\tan (x) = 2$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (2)$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$\arctan (2)$ の値を求めます。

$x = 1.10714871$

ステップ 6.2.4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

ステップ 6.2.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

ステップ 6.2.5.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

ステップ 6.2.5.3

$3.14159265$ と $1.10714871$ をたし算します。

$x = 4.24874137$

ステップ 6.2.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 6.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 6.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 6.2.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$1.81577498 + π n$ と $1.81577498 + π n$ を $1.81577498 + π n$ にまとめます。

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.2

$4.46741031 + π n$ と $1.32581766 + π n$ を $1.32581766 + π n$ にまとめます。

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.3

$2.03444393 + π n$ と $2.03444393 + π n$ を $2.03444393 + π n$ にまとめます。

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.4

$4.24874137 + π n$ と $1.10714871 + π n$ を $1.10714871 + π n$ にまとめます。

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例