三角関数例

$\cos (2 x) = \sin (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sin (x)$ を引きます。

$\cos (2 x) - \sin (x) = 0$

ステップ 2

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 3.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 3.2.2

$- 1$ を $1$ プラス $- 2$ に書き換える

$- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 3.2.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 3.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

ステップ 3.4

最大公約数 $- 2 \sin (x) + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

ステップ 5

$- 2 \sin (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$- 2 \sin (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 \sin (x) = - 1$

ステップ 5.2.2

$- 2 \sin (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 2 \sin (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 5.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 5.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 5.2.6

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 5.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.6.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 5.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 5.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.6.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 5.2.6.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 5.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\sin (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\sin (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) + 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\sin (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin (x) = - 1$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 6.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 6.2.5.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.2.6

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.7

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 6.2.7.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 6.2.7.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.7.3

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.7.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.2.7.4

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.7.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 6.2.7.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 6.2.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $(- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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