三角関数例

$\frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)}$

ステップ 1.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 2

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ を掛けます。

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 3

$\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ を掛けます。

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} \cdot \frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ に $\frac{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})} + \frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} \cdot \frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 4.2

$\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ に $\frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})} + \frac{\sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 4.3

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{\sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.4

$- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.4.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (x) - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.5

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.6

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + \sin (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.8

$- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 6.8.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.8.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.8.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 7.2

分数を分解します。

$\frac{\cos (x) - (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 7.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{\cos (x) - (\frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 7.4

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\cos (x) - (\cos (x) \cot (x)) + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 7.5

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 7.6

分数を分解します。

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 7.7

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x))}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 7.8

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - \sin (x) \tan (x)}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8

分母を簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - \sin (x) \tan (x)}{(1 - \cot (x)) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - \sin (x) \tan (x)}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))}$

三角関数 例

三角関数例