三角関数例

$\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を2乗します。

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ を $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ に書き換えます。

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.3.1.2

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.3.1.2.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.3.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.3.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.3.2

$\sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.3.3

$\cos (x) \sin (x)$ と $\cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.4

$\cos^{2} (x)$ を移動させます。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.6

各項を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.6.2

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.6.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$1 + \sin (2 x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 + \sin (2 x) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

共通因数を約分します。

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.4.2

式を書き換えます。

$1 + \sin (2 x) = 2^{1}$

ステップ 3.5

指数を求めます。

$1 + \sin (2 x) = 2$

ステップ 4

$\sin (2 x)$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin (2 x) = 2 - 1$

ステップ 4.2

$2$ から $1$ を引きます。

$\sin (2 x) = 1$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (1)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 7

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 7.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 7.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 8

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 9

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 9.1.2

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 9.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 9.1.4

$π \cdot 2$ から $π$ を引きます。

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ステップ 9.1.4.1

$π$ と $2$ を並べ替えます。

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 9.1.4.2

$2 \cdot π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 9.2

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 9.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 9.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 9.2.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 10

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 10.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 10.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 10.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 11

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

各解を $\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$ に代入して解き、検算します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例