三角関数例

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) = 8 \tan (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $8 \tan (x)$ を引きます。

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 8 \tan (x) = 0$

ステップ 2

$4 \tan (x)$ を $4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 8 \tan (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$4 \tan (x)$ を $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) - 8 \tan (x) = 0$

ステップ 2.2

$4 \tan (x)$ を $- 8 \tan (x)$ で因数分解します。

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.3

$4 \tan (x)$ を $4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cdot - 2$ で因数分解します。

$4 \tan (x) (\sec^{2} (x) - 2) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (x) = 0$

$\sec^{2} (x) - 2 = 0$

ステップ 4

$\tan (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\tan (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\tan (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + 0$

ステップ 4.2.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$x = π$

ステップ 4.2.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\sec^{2} (x) - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\sec^{2} (x) - 2$ が $0$ に等しいとします。

$\sec^{2} (x) - 2 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\sec^{2} (x) - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\sec^{2} (x) = 2$

ステップ 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

ステップ 5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sec (x) = \sqrt{2}$

ステップ 5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

ステップ 5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 5.2.4

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

ステップ 5.2.5

$\sec (x) = \sqrt{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 5.2.5.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (\sqrt{2})$

ステップ 5.2.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.5.2.1

$arcsec (\sqrt{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5.3

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5.4

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.5.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.5.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 5.2.5.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.5.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 5.2.5.4.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 5.2.5.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.5.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.5.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.6

$\sec (x) = - \sqrt{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 5.2.6.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

ステップ 5.2.6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.6.2.1

$arcsec (- \sqrt{2})$ の厳密値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.6.3

正割関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.6.4

$2 π - \frac{3 π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.6.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.6.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.6.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

ステップ 5.2.6.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

ステップ 5.2.6.4.3.2

$8 π$ から $3 π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 5.2.6.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.6.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.6.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.7

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.8

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $4 \tan (x) (\sec^{2} (x) - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = π n, π + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$π + π n$ と $π n$ を $π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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