三角関数例

${(\csc (x) - \cot (x))}^{2} = \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 1

左辺から始めます。

${(\csc (x) - \cot (x))}^{2}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x))}^{2}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

${(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$ を $(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ に書き換えます。

$(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{1}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.1.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.2

$\frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.2.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.2.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.3

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.3.1.3.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.3.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.4

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ を掛けます。

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ステップ 2.3.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.4

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.8

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

ステップ 2.3.3.1.4.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

ステップ 2.3.3.1.4.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.2

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$ から $\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$ を引きます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 2 \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 2.3.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$- 2$ と $\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{- 2 \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 2.3.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{2 \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

$\cos (x)$ を $- 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$\cos (x)$ を $- 2 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 2 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.1.2

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 2 + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.1.3

$\cos (x)$ を $\cos (x) \cdot - 2 + \cos (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) (- 2 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \cos (x) (- 2 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + \cos (x) \cdot - 2 + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3.2

$- 2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3.3

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.3.3.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3.3.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3.4

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.3.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3.4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 \cos (x) = 2 \cdot 1 \cdot \cos (x)$

ステップ 3.3.4.3

多項式を書き換えます。

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3.4.4

$a = 1$ と $b = \cos (x)$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

ステップ 5.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cos (x)$ です。

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.2

${(1 - \cos (x))}^{2}$ と $1 - \cos (x)$ の共通因数を約分します。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

${(\csc (x) - \cot (x))}^{2} = \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例