三角関数例

1 - \sqrt{3} i

$1 - \sqrt{3} i$

ステップ 1

複素数の三角法の式です。ここで、

| z |

$| z |$ は絶対値、

θ

$θ$ は複素数平面上にできる角です。

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 2

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

z = a + b i

$z = a + b i$ ならば

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 3

a = 1

$a = 1$ と

b = - 1 \sqrt{3}

$b = - 1 \sqrt{3}$ の実際の値を代入します。

| z | = \sqrt{{(- 1 \sqrt{3})}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sqrt{3})}^{2} + 1^{2}}$

ステップ 4

| z |

$| z |$ を求めます。

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ステップ 4.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

- 1 \sqrt{3}

$- 1 \sqrt{3}$ を

- \sqrt{3}

$- \sqrt{3}$ に書き換えます。

| z | = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1^{2}}$

ステップ 4.1.2

積の法則を

- \sqrt{3}

$- \sqrt{3}$ に当てはめます。

| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}$

ステップ 4.1.3

- 1

$- 1$ を

2

$2$ 乗します。

| z | = \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}$

ステップ 4.1.4

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ に

1

$1$ をかけます。

| z | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}$

| z | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}$

ステップ 4.2

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ を

3

$3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ を

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

| z | = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1^{2}}$

ステップ 4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

| z | = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1^{2}}$

ステップ 4.2.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

2

$2$ をまとめます。

| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}$

ステップ 4.2.4

2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}$

ステップ 4.2.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{3 + 1^{2}}$

ステップ 4.2.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{3 + 1^{2}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$| z | = \sqrt{3 + 1}$

ステップ 4.3.2

$3$ と

$1$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{4}$

ステップ 4.3.3

$4$ を

$2^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

ステップ 4.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 2$

ステップ 5

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sqrt{3}}{1})$

ステップ 6

$\frac{- 1 \sqrt{3}}{1}$ の逆正接が第四象限で角を作るので、角の値は

$- \frac{π}{3}$ です。

$θ = - \frac{π}{3}$

ステップ 7

$θ = - \frac{π}{3}$ と

$| z | = 2$ の値を代入します。

$2 (\cos (- \frac{π}{3}) + i \sin (- \frac{π}{3}))$

三角関数 例

三角関数例