三角関数例

$\tan (x) \geq \sqrt{3}$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x \geq \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x \geq \frac{π}{3}$

ステップ 3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{3}$

ステップ 4

$π + \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

ステップ 4.3.2

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$\tan (x) - \sqrt{3}$ の定義域を求めます。

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ステップ 8.1

$\tan (x)$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{4 π}{3}$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.31$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $1.31$ で置き換えます。

$\tan (1.31) \geq \sqrt{3}$

ステップ 10.1.3

左辺 $3.74708097$ は右辺 $1.7320508$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.2

区間 $\frac{π}{2} < x < \frac{4 π}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $\frac{π}{2} < x < \frac{4 π}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\tan (3) \geq \sqrt{3}$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 0.14254654$ は右辺 $1.7320508$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ 真

$\frac{π}{2} < x < \frac{4 π}{3}$ 偽

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ 真

$\frac{π}{2} < x < \frac{4 π}{3}$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{π}{3} + π n \leq x < \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$[\frac{π}{3} + π n, \frac{π}{2} + π n)$

ステップ 13

三角関数 例

三角関数例