三角関数例

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{3} = 10$

ステップ 1

両辺に $3$ を掛けます。

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{3} \cdot 3 = 10 \cdot 3$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{3} \cdot 3 = 10 \cdot 3$

ステップ 2.1.1.2

式を書き換えます。

$e^{x} + e^{- x} = 10 \cdot 3$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$10$ に $3$ をかけます。

$e^{x} + e^{- x} = 30$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$e^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 30$

ステップ 3.2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u + u^{- 1} = 30$

ステップ 3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u + \frac{1}{u} = 30$

ステップ 3.4

$u$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 3.4.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 3.4.2

$u + \frac{1}{u} = 30$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.4.2.1

$u + \frac{1}{u} = 30$ の各項に $u$ を掛けます。

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 30 u$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 30 u$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 30 u$

ステップ 3.4.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{2} + 1 = 30 u$

ステップ 3.4.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.4.3.1

方程式の両辺から $30 u$ を引きます。

$u^{2} + 1 - 30 u = 0$

ステップ 3.4.3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4.3.3

$a = 1$ 、 $b = - 30$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.3.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.3.4.1.1

$- 30$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 3.4.3.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.3

$900$ から $4$ を引きます。

$u = \frac{30 \pm \sqrt{896}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.4

$896$ を $8^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.3.4.1.4.1

$64$ を $896$ で因数分解します。

$u = \frac{30 \pm \sqrt{64 (14)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.4.2

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{30 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$

ステップ 3.4.3.4.3

$\frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$ を簡約します。

$u = 15 \pm 4 \sqrt{14}$

ステップ 3.4.3.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = 15 + 4 \sqrt{14}, 15 - 4 \sqrt{14}$

ステップ 3.5

$15 + 4 \sqrt{14}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$

ステップ 3.6

$15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

方程式を $e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$ として書き換えます。

$e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

ステップ 3.6.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.6.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

ステップ 3.6.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

ステップ 3.6.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

ステップ 3.7

$15 - 4 \sqrt{14}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$

ステップ 3.8

$15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 3.8.1

方程式を $e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$ として書き換えます。

$e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$

ステップ 3.8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

ステップ 3.8.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.8.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

ステップ 3.8.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

ステップ 3.8.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

ステップ 3.9

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

10進法形式：

$x = 3.40008441 \dots, - 3.40008441 \dots$

三角関数 例

三角関数例