三角関数例

$\cos (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \csc (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\cos (x) (\tan (x) + \cot (x))$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x))$

ステップ 2.1.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.3.2

式を書き換えます。

$\sin (x) + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.4

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1

$\cos (x)$ と $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.4.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

ステップ 2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\sin (x) + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sin (x) + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)}$

ステップ 4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$\sin (x) + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 4.2

$\sin (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

$\frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 5

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に書き換えます。

$\csc (x)$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cos (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \csc (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例