三角関数例

$\frac{1}{1 - \sin (x)} - \frac{1}{1 + \sin (x)} = 2 \tan (x) \sec (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1}{1 - \sin (x)} - \frac{1}{1 + \sin (x)}$

ステップ 2

分数を引き算します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1}{1 + \sin (x)}$

ステップ 2.2

$- \frac{1}{1 + \sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$ に $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{1 + \sin (x)}$ に $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 2.3.3

$(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \sin (x) - (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + \sin (x) - 1 \cdot 1 - - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \sin (x) - 1 - - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 3.1.3

$- - \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + \sin (x) - 1 + 1 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 3.1.3.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \sin (x) - 1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + \sin (x) + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 3.3

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\frac{\sin (x) + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 3.4

$\sin (x)$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \sin (x)}{1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{2 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ を $2 \tan (x) \sec (x)$ に書き換えます。

$2 \tan (x) \sec (x)$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{1 - \sin (x)} - \frac{1}{1 + \sin (x)} = 2 \tan (x) \sec (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例