三角関数例

$\sin (x) \cos (2 x) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$\sin (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.3

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sin (x) - 2 \sin (x) \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.5

指数を足して $\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.5.1

$\sin^{2} (x)$ を移動させます。

$\sin (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.5.2

$\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

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ステップ 1.5.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.6

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

ステップ 1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) = 0$

ステップ 1.8

$2 \cos (x) \sin (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.8.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x) = 0$

ステップ 1.8.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x) = 0$

ステップ 1.8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x) = 0$

ステップ 1.8.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x) = 0$

ステップ 2

$\sin (x)$ を $\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$\sin (x)$ を $\sin^{1} (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) \cdot 1 - 2 \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

$\sin (x)$ を $- 2 \sin^{3} (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x) = 0$

ステップ 2.3

$\sin (x)$ を $2 \cos^{2} (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (2 \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.4

$\sin (x)$ を $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$\sin (x) \cdot (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (2 \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.5

$\sin (x)$ を $\sin (x) \cdot (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (2 \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\sin (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 4

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 4.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 4.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$ が $0$ に等しいとします。

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $- 2 \sin^{2} (x)$ を $- 2 (1 - \cos^{2} (x))$ で置き換えます。

$1 - 2 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 5.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

分配則を当てはめます。

$1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 5.2.2.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 - 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 5.2.2.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$1 - 2 + 2 \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 5.2.3

項を加えて簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1 + 2 \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 5.2.3.2

$2 \cos^{2} (x)$ と $2 \cos^{2} (x)$ をたし算します。

$- 1 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 5.2.4

多項式を並べ替えます。

$4 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 5.2.5

方程式の両辺に $1$ を足します。

$4 \cos^{2} (x) = 1$

ステップ 5.2.6

$4 \cos^{2} (x) = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.6.1

$4 \cos^{2} (x) = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 5.2.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.6.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 5.2.6.2.1.2

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

ステップ 5.2.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

ステップ 5.2.8

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.8.1

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.2.8.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.2.8.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.8.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 5.2.8.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.9

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.2.9.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.9.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.9.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.10

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.11

$\cos (x) = \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.11.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 5.2.11.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.11.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.11.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.11.4

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.11.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.11.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.11.4.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.11.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 5.2.11.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.11.4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 5.2.11.4.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 5.2.11.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.11.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.11.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.11.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.12

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 5.2.12.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 5.2.12.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.12.2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.12.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.12.4

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.12.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.12.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.12.4.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.12.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 5.2.12.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.12.4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 5.2.12.4.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 5.2.12.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.12.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.12.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.12.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.13

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.14

解をまとめます。

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ステップ 5.2.14.1

$\frac{4 π}{3} + 2 π n$ と $\frac{π}{3} + π n$ を $\frac{π}{3} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.14.2

$\frac{2 π}{3} + 2 π n$ と $\frac{2 π}{3} + π n$ を $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $\sin (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

答えをまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7.2

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例