三角関数例

\frac{sin (x)}{1 - cos (x)} + \frac{sin (x)}{1 + cos (x)} = 2 csc (x)

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 2

分数をたし算します。

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ステップ 2.1

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 2.2

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ に

$\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ に

$\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.3.3

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.1.2

$\sin (x)$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.1.4

$\sin (x)$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.2

$\sin (x)$ と

$\sin (x)$ をたし算します。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.3

$\sin (x) \cos (x)$ と

$\sin (x) (- \cos (x))$ をたし算します。

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ステップ 3.3.1

$\sin (x)$ と

$- 1$ を並べ替えます。

$\frac{2 \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.3.2

$\sin (x) \cos (x)$ から

$\sin (x) \cos (x)$ を引きます。

$\frac{2 \sin (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.4

$2 \sin (x)$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \sin (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{2 \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6

$\sin (x)$ と

${\sin (x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

$\frac{2}{\sin (x)}$

ステップ 7

$\frac{2}{\sin (x)}$ を

$2 \csc (x)$ に書き換えます。

$2 \csc (x)$

ステップ 8

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例