三角関数例

$\tan (105)$

ステップ 1

まず、6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。この場合、 $105$ は $45 + 60$ に分割することができます。

$\tan (45 + 60)$

ステップ 2

正切の和の公式を利用して式を簡約します。公式は $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ ということが述べられています。

$\frac{\tan (45) + \tan (60)}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

$\tan (45)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 + \tan (60)}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

ステップ 3.2

$\tan (60)$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

$\tan (45)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1 \tan (60)}$

ステップ 4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \tan (60)}$

ステップ 4.3

$\tan (60)$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \sqrt{3}}$

ステップ 4.4

$- 1 \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

ステップ 5

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ に $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

ステップ 6

分数をまとめます。

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ステップ 6.1

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ に $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

ステップ 6.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 6.3

簡約します。

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$1 + \sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 7.2

$1 + \sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

ステップ 7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

ステップ 7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

ステップ 8

${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ を $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ に書き換えます。

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 9

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ を展開します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 9.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 10

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 10.1.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 10.1.3

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 10.1.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

ステップ 10.1.5

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

ステップ 10.1.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

ステップ 10.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

ステップ 10.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 10.3

$\sqrt{3}$ と $\sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 11

$4 + 2 \sqrt{3}$ と $- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 11.2

$2$ を $2 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 11.3

$2$ を $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 11.4

$\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

ステップ 12

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ を $- (2 + \sqrt{3})$ に書き換えます。

$- (2 + \sqrt{3})$

ステップ 13

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

ステップ 14

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 - \sqrt{3}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 2 - \sqrt{3}$

10進法形式：

$- 3.73205080 \dots$

三角関数 例

三角関数例