三角関数例

\tan (3 x) = 1

$\tan (3 x) = 1$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から

x

$x$ を取り出します。

3 x = \arctan (1)

$3 x = \arctan (1)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

\arctan (1)

$\arctan (1)$ の厳密値は

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ です。

3 x = \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π}{4}$

3 x = \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π}{4}$

ステップ 3

3 x = \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π}{4}$ の各項を

3

$3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

3 x = \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π}{4}$ の各項を

3

$3$ で割ります。

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

ステップ 3.2.1.2

x

$x$ を

1

$1$ で割ります。

x = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

x = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

x = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 3.3.2

\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ に

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ をかけます。

x = \frac{π}{4 \cdot 3}

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

ステップ 3.3.2.2

4

$4$ に

3

$3$ をかけます。

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

ステップ 4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、

π

$π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

3 x = π + \frac{π}{4}

$3 x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 5

x

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

π

$π$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ を掛けます。

3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 5.1.2

π

$π$ と

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ をまとめます。

3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 5.1.3

公分母の分子をまとめます。

3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 5.1.4

π \cdot 4

$π \cdot 4$ と

π

$π$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

π

$π$ と

4

$4$ を並べ替えます。

3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 5.1.4.2

4 \cdot π

$4 \cdot π$ と

π

$π$ をたし算します。

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

ステップ 5.2

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ の各項を

3

$3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ の各項を

3

$3$ で割ります。

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

ステップ 5.2.2.1.2

x

$x$ を

1

$1$ で割ります。

x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.3.2

\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

\frac{5 π}{4}

$\frac{5 π}{4}$ に

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ をかけます。

x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

ステップ 5.2.3.2.2

4

$4$ に

3

$3$ をかけます。

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

ステップ 6

\tan (3 x)

$\tan (3 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

関数の期間は

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 6.2

周期の公式の

b

$b$ を

3

$3$ で置き換えます。

\frac{π}{| 3 |}

$\frac{π}{| 3 |}$

ステップ 6.3

絶対値は数と0の間の距離です。

0

$0$ と

3

$3$ の間の距離は

3

$3$ です。

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$

ステップ 7

\tan (3 x)

$\tan (3 x)$ 関数の周期が

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ なので、両方向で

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数

n

$n$

ステップ 8

答えをまとめます。

x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数

n

$n$

三角関数 例

三角関数例