三角関数例

$3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 1$

ステップ 1

恒等式を利用して方程式を解きます。この恒等式では、 $θ$ はグラフ上に点 $(a, b)$ をプロットしてできる角度を表しているので、 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ を利用して求めることができます。

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ および $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ ならば $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$

ステップ 2

方程式を立て、 $θ$ の値を求めます。

$\tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

ステップ 3

逆正切をとり、 $θ$ の方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$θ = \tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

ステップ 3.3

$\tan^{-1} (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$θ = - \frac{π}{4}$

ステップ 4

式を解いて $R$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$3$ を $2$ 乗します。

$R = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

ステップ 4.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$R = \sqrt{9 + 9}$

ステップ 4.3

$9$ と $9$ をたし算します。

$R = \sqrt{18}$

ステップ 4.4

$18$ を $3^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.1

$9$ を $18$ で因数分解します。

$R = \sqrt{9 (2)}$

ステップ 4.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$R = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

ステップ 4.5

累乗根の下から項を取り出します。

$R = 3 \sqrt{2}$

ステップ 5

既知数を方程式に代入します。

$(3 \sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

ステップ 6

$3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ の各項を $3 \sqrt{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ の各項を $3 \sqrt{2}$ で割ります。

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

ステップ 6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

ステップ 6.2.2

$\sqrt{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$\sin (x - \frac{π}{4})$ を $1$ で割ります。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 6.3.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 6.3.2.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 6.3.2.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

ステップ 6.3.2.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

ステップ 6.3.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 6.3.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 6.3.2.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 6.3.2.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.3.2.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.3.2.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.3.2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.7.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.3.2.7.4.2

式を書き換えます。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

ステップ 6.3.2.7.5

指数を求めます。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

ステップ 6.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$

ステップ 7

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$

ステップ 8

右辺を簡約します。

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ステップ 8.1

$\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$ の値を求めます。

$x - \frac{π}{4} = 0.23794112$

ステップ 9

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺に $\frac{π}{4}$ を足します。

$x = 0.23794112 + \frac{π}{4}$

ステップ 9.2

$0.23794112$ と $\frac{π}{4}$ をたし算します。

$x = 1.02333928$

ステップ 10

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x - \frac{π}{4} = (3.14159265) - 0.23794112$

ステップ 11

$x$ について解きます。

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ステップ 11.1

$3.14159265$ から $0.23794112$ を引きます。

$x - \frac{π}{4} = 2.90365152$

ステップ 11.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{4}$ を足します。

$x = 2.90365152 + \frac{π}{4}$

ステップ 11.2.2

$2.90365152$ と $\frac{π}{4}$ をたし算します。

$x = 3.68904969$

ステップ 12

$\sin (x - \frac{π}{4})$ の周期を求めます。

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ステップ 12.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 12.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 12.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 12.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 13

$\sin (x - \frac{π}{4})$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.02333928 + 2 π n, 3.68904969 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例