三角関数例

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} = 2 \csc (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.2

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.3.3

$(1 + \cos (x)) \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 2.5.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 (1 + \cos (x)) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.3.1.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.3.1.3

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.3.1.4

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.5.3.1.4.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.3.1.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.3.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.3.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.3.2

$\cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.4

因数分解した形で $\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ を書き換えます。

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ステップ 2.5.4.1

項を再分類します。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.4.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1 + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.4.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.4.4

$2$ を $2 + 2 \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.4.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.4.4.2

$2$ を $2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.6

$1 + \cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.6.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{\sin (x)}$

ステップ 3

$\frac{2}{\sin (x)}$ を $2 \csc (x)$ に書き換えます。

$2 \csc (x)$

ステップ 4

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} = 2 \csc (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例