三角関数例

$2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 2$

ステップ 1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - 2 = 0$

ステップ 2

$2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - 2$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 2$ を移動させます。

$2 \sin^{2} (x) - 2 - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2

$2 \sin^{2} (x)$ と $- 2$ を並べ替えます。

$- 2 + 2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.3

$- 2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- 2 (1) + 2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.4

$- 2$ を $2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.5

$- 2$ を $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$- 2 (1 - \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.7

$- 2 \cos^{2} (x)$ から $\cos^{2} (x)$ を引きます。

$- 3 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- 3 \cos^{2} (x) = 0$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- 3 \cos^{2} (x) = 0$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 3.1.2.1.2

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = \frac{0}{- 3}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$0$ を $- 3$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (x) = \pm 0$

ステップ 3.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\cos (x) = 0$

ステップ 3.4

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 3.5

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $90$ です。

$x = 90$

ステップ 3.6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 360 - 90$

ステップ 3.7

$360$ から $90$ を引きます。

$x = 270$

ステップ 3.8

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.8.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 3.8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 3.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 3.8.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 3.9

$\cos (x)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

答えをまとめます。

$x = 90 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例