三角関数例

$2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$

ステップ 1

$2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

ステップ 1.2.1.2

$1 - \cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.2

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.2.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

ステップ 2

$\cos (x)$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} - 1$

ステップ 2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 2.3

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$- \cos^{2} (x) = \frac{3 - 1 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- \cos^{2} (x) = \frac{3 - 4}{4}$

ステップ 2.5.2

$3$ から $4$ を引きます。

$- \cos^{2} (x) = \frac{- 1}{4}$

ステップ 2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$

ステップ 3

$- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos^{2} (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

ステップ 3.2.2

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos^{2} (x) = \frac{\frac{1}{4}}{1}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{4}$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

ステップ 4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 5.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

ステップ 7

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 8

$\cos (x) = \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $60$ です。

$x = 60$

ステップ 8.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 360 - 60$

ステップ 8.4

$360$ から $60$ を引きます。

$x = 300$

ステップ 8.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 8.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 8.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$x = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 9.2

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $120$ です。

$x = 120$

ステップ 9.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 360 - 120$

ステップ 9.4

$360$ から $120$ を引きます。

$x = 240$

ステップ 9.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 9.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 9.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 9.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 9.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 9.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$x = 120 + 360 n, 240 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

すべての解をまとめます。

$x = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n, 240 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

解をまとめます。

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ステップ 11.1

$240 + 360 n$ と $60 + 180 n$ を $60 + 360 n$ にまとめます。

$x = 60 + 180 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11.2

$120 + 360 n$ と $120 + 180 n$ を $300 + 360 n$ にまとめます。

$x = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例