三角関数例

sin (2 x) = \sqrt{2} sin (x)

$\sin (2 x) = \sqrt{2} \sin (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から

\sqrt{2} sin (x)

$\sqrt{2} \sin (x)$ を引きます。

sin (2 x) - \sqrt{2} sin (x) = 0

$\sin (2 x) - \sqrt{2} \sin (x) = 0$

ステップ 2

正弦2倍角の公式を当てはめます。

2 sin (x) cos (x) - \sqrt{2} sin (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \sin (x) = 0$

ステップ 3

sin (x)

$\sin (x)$ を

2 sin (x) cos (x) - \sqrt{2} sin (x)

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \sin (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

sin (x)

$\sin (x)$ を

2 sin (x) cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

sin (x) (2 cos (x)) - \sqrt{2} sin (x) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sqrt{2} \sin (x) = 0$

ステップ 3.2

sin (x)

$\sin (x)$ を

- \sqrt{2} sin (x)

$- \sqrt{2} \sin (x)$ で因数分解します。

sin (x) (2 cos (x)) + sin (x) (- \sqrt{2}) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (- \sqrt{2}) = 0$

ステップ 3.3

sin (x)

$\sin (x)$ を

sin (x) (2 cos (x)) + sin (x) (- \sqrt{2})

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (- \sqrt{2})$ で因数分解します。

sin (x) (2 cos (x) - \sqrt{2}) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

sin (x) (2 cos (x) - \sqrt{2}) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が

0

$0$ と等しいならば、式全体は

0

$0$ と等しくなります。

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

2 cos (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

ステップ 5

sin (x)

$\sin (x)$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

sin (x)

$\sin (x)$ が

0

$0$ に等しいとします。

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

ステップ 5.2

x

$x$ について

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から

x

$x$ を取り出します。

x = arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

arcsin (0)

$\arcsin (0)$ の厳密値は

0

$0$ です。

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

ステップ 5.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、

π

$π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

x = π - 0

$x = π - 0$

ステップ 5.2.4

π

$π$ から

0

$0$ を引きます。

x = π

$x = π$

ステップ 5.2.5

sin (x)

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

関数の期間は

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の

b

$b$ を

1

$1$ で置き換えます。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

0

$0$ と

1

$1$ の間の距離は

1

$1$ です。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

2 π

$2 π$ を

1

$1$ で割ります。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

ステップ 5.2.6

sin (x)

$\sin (x)$ 関数の周期が

2 π

$2 π$ なので、両方向で

2 π

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 6

$2 \cos (x) - \sqrt{2}$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 \cos (x) - \sqrt{2}$ が

$0$ に等しいとします。

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺に

$\sqrt{2}$ を足します。

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

ステップ 6.2.2

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を

$1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から

$x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 6.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は

$\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.6

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.6.2.1

$2 π$ と

$\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 6.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.6.3.1

$4$ に

$2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 6.2.6.3.2

$8 π$ から

$π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 6.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.7.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.7.4

$2 π$ を

$1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が

$2 π$ なので、両方向で

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 7

最終解は

$\sin (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 8

$π + 2 π n$ と

$π n$ を

$2 π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

三角関数 例

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