三角関数例

\csc^{2} (x) + \csc (x) = 2

$\csc^{2} (x) + \csc (x) = 2$

ステップ 1

方程式の両辺から

2

$2$ を引きます。

\csc^{2} (x) + \csc (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 2 = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して

\csc^{2} (x) + \csc (x) - 2

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が

c

$c$ で和が

b

$b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が

- 2

$- 2$ で、その和が

1

$1$ です。

- 1, 2

$- 1, 2$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0

$(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0$

(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0

$(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が

0

$0$ と等しいならば、式全体は

0

$0$ と等しくなります。

\csc (x) - 1 = 0

$\csc (x) - 1 = 0$

\csc (x) + 2 = 0

$\csc (x) + 2 = 0$

ステップ 4

\csc (x) - 1

$\csc (x) - 1$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

\csc (x) - 1

$\csc (x) - 1$ が

0

$0$ に等しいとします。

\csc (x) - 1 = 0

$\csc (x) - 1 = 0$

ステップ 4.2

x

$x$ について

\csc (x) - 1 = 0

$\csc (x) - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺に

1

$1$ を足します。

\csc (x) = 1

$\csc (x) = 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から

x

$x$ を取り出します。

x = arccsc (1)

$x = arccsc (1)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

arccsc (1)

$arccsc (1)$ の厳密値は

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ です。

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4

余割関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、

π

$π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

x = π - \frac{π}{2}

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.5

π - \frac{π}{2}

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

π

$π$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.5.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.2.1

π

$π$ と

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.3.1

2

$2$ を

π

$π$ の左に移動させます。

x = \frac{2 \cdot π - π}{2}

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 4.2.5.3.2

2 π

$2 π$ から

π

$π$ を引きます。

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.6

\csc (x)

$\csc (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

関数の期間は

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の

b

$b$ を

1

$1$ で置き換えます。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。

0

$0$ と

1

$1$ の間の距離は

1

$1$ です。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

2 π

$2 π$ を

1

$1$ で割ります。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

ステップ 4.2.7

\csc (x)

$\csc (x)$ 関数の周期が

2 π

$2 π$ なので、両方向で

2 π

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

ステップ 5

\csc (x) + 2

$\csc (x) + 2$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

\csc (x) + 2

$\csc (x) + 2$ が

0

$0$ に等しいとします。

\csc (x) + 2 = 0

$\csc (x) + 2 = 0$

ステップ 5.2

x

$x$ について

\csc (x) + 2 = 0

$\csc (x) + 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺から

2

$2$ を引きます。

\csc (x) = - 2

$\csc (x) = - 2$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から

x

$x$ を取り出します。

x = arccsc (- 2)

$x = arccsc (- 2)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

arccsc (- 2)

$arccsc (- 2)$ の厳密値は

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ です。

x = - \frac{π}{6}

$x = - \frac{π}{6}$

x = - \frac{π}{6}

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 5.2.4

余割関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、

2 π

$2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を

π

$π$ に足し、第三象限で解を求めます。

x = 2 π + \frac{π}{6} + π

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 5.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

2 π + \frac{π}{6} + π

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から

2 π

$2 π$ を引きます。

x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 5.2.5.2

\frac{7 π}{6}

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、

2 π

$2 π$ より小さく、

2 π + \frac{π}{6} + π

$2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 5.2.6

\csc (x)

$\csc (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

関数の期間は

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.2

周期の公式の

b

$b$ を

1

$1$ で置き換えます。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。

0

$0$ と

1

$1$ の間の距離は

1

$1$ です。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.6.4

2 π

$2 π$ を

1

$1$ で割ります。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

ステップ 5.2.7

2 π

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

2 π

$2 π$ を

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

- \frac{π}{6} + 2 π

$- \frac{π}{6} + 2 π$

ステップ 5.2.7.2

2 π

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ を掛けます。

2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 5.2.7.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.3.1

2 π

$2 π$ と

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ をまとめます。

\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 5.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 5.2.7.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.4.1

6

$6$ に

2

$2$ をかけます。

\frac{12 π - π}{6}

$\frac{12 π - π}{6}$

ステップ 5.2.7.4.2

12 π

$12 π$ から

π

$π$ を引きます。

\frac{11 π}{6}

$\frac{11 π}{6}$

\frac{11 π}{6}

$\frac{11 π}{6}$

ステップ 5.2.7.5

新しい角をリストします。

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 5.2.8

\csc (x)

$\csc (x)$ 関数の周期が

2 π

$2 π$ なので、両方向で

2 π

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

ステップ 6

最終解は

(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0

$(\csc (x) - 1) (\csc (x) + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

ステップ 7

答えをまとめます。

x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数

n

$n$

三角関数 例

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