三角関数例

2 sin (x) cos (x) = \sqrt{2} cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x) = \sqrt{2} \cos (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から

\sqrt{2} cos (x)

$\sqrt{2} \cos (x)$ を引きます。

2 sin (x) cos (x) - \sqrt{2} cos (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) = 0$

ステップ 2

cos (x)

$\cos (x)$ を

2 sin (x) cos (x) - \sqrt{2} cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

cos (x)

$\cos (x)$ を

2 sin (x) cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

cos (x) (2 sin (x)) - \sqrt{2} cos (x) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) - \sqrt{2} \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

cos (x)

$\cos (x)$ を

- \sqrt{2} cos (x)

$- \sqrt{2} \cos (x)$ で因数分解します。

cos (x) (2 sin (x)) + cos (x) (- \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2}) = 0$

ステップ 2.3

cos (x)

$\cos (x)$ を

cos (x) (2 sin (x)) + cos (x) (- \sqrt{2})

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2})$ で因数分解します。

cos (x) (2 sin (x) - \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$

cos (x) (2 sin (x) - \sqrt{2}) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が

0

$0$ と等しいならば、式全体は

0

$0$ と等しくなります。

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

2 sin (x) - \sqrt{2} = 0

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$

ステップ 4

cos (x)

$\cos (x)$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

cos (x)

$\cos (x)$ が

0

$0$ に等しいとします。

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

ステップ 4.2

x

$x$ について

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から

x

$x$ を取り出します。

x = arccos (0)

$x = \arccos (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

arccos (0)

$\arccos (0)$ の厳密値は

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ です。

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、

2 π

$2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

2 π

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

2 π

$2 π$ と

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

2

$2$ に

2

$2$ をかけます。

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 4.2.4.3.2

4 π

$4 π$ から

π

$π$ を引きます。

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.2.5

cos (x)

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

関数の期間は

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の

b

$b$ を

1

$1$ で置き換えます。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

0

$0$ と

1

$1$ の間の距離は

1

$1$ です。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

2 π

$2 π$ を

1

$1$ で割ります。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

ステップ 4.2.6

cos (x)

$\cos (x)$ 関数の周期が

2 π

$2 π$ なので、両方向で

2 π

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 5

$2 \sin (x) - \sqrt{2}$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2 \sin (x) - \sqrt{2}$ が

$0$ に等しいとします。

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に

$\sqrt{2}$ を足します。

$2 \sin (x) = \sqrt{2}$

ステップ 5.2.2

$2 \sin (x) = \sqrt{2}$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2 \sin (x) = \sqrt{2}$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を

$1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から

$x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 5.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は

$\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.6

$π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.6.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.2.1

$π$ と

$\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 5.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.3.1

$4$ を

$π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 5.2.6.3.2

$4 π$ から

$π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.7.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.7.4

$2 π$ を

$1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が

$2 π$ なので、両方向で

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 6

最終解は

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 7

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と

$\frac{π}{2} + π n$ を

$\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

三角関数 例

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