三角関数例

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)}$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\cot (θ)$ を書き換えます。

$1 + \frac{\tan (θ)}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

ステップ 2.2

正弦と余弦に関して $\tan (θ)$ を書き換えます。

$1 + \frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

ステップ 2.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ で割ります。

$1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 2.4

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ に $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ をかけます。

$1 + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

ステップ 2.5.2

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

ステップ 2.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) \cos (θ)}$

ステップ 2.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

ステップ 2.6

分母を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

ステップ 2.6.2

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

ステップ 2.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}}$

ステップ 2.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cos (θ)$ です。

$1 + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

ステップ 4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\cos (θ)}^{2} + (1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 5

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ を $\sec^{2} (θ)$ に書き換えます。

$\sec^{2} (θ)$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例