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三角関数 例
sin(2θ)-cos(θ)=0sin(2θ)−cos(θ)=0
ステップ 1
正弦2倍角の公式を当てはめます。
2sin(θ)cos(θ)-cos(θ)=02sin(θ)cos(θ)−cos(θ)=0
ステップ 2
ステップ 2.1
cos(θ)cos(θ)を2sin(θ)cos(θ)2sin(θ)cos(θ)で因数分解します。
cos(θ)(2sin(θ))-cos(θ)=0cos(θ)(2sin(θ))−cos(θ)=0
ステップ 2.2
cos(θ)cos(θ)を-cos(θ)−cos(θ)で因数分解します。
cos(θ)(2sin(θ))+cos(θ)⋅-1=0cos(θ)(2sin(θ))+cos(θ)⋅−1=0
ステップ 2.3
cos(θ)cos(θ)をcos(θ)(2sin(θ))+cos(θ)⋅-1cos(θ)(2sin(θ))+cos(θ)⋅−1で因数分解します。
cos(θ)(2sin(θ)-1)=0cos(θ)(2sin(θ)−1)=0
cos(θ)(2sin(θ)-1)=0cos(θ)(2sin(θ)−1)=0
ステップ 3
方程式の左辺の個々の因数が00と等しいならば、式全体は00と等しくなります。
cos(θ)=0cos(θ)=0
2sin(θ)-1=02sin(θ)−1=0
ステップ 4
ステップ 4.1
cos(θ)cos(θ)が00に等しいとします。
cos(θ)=0cos(θ)=0
ステップ 4.2
θθについてcos(θ)=0cos(θ)=0を解きます。
ステップ 4.2.1
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からθθを取り出します。
θ=arccos(0)θ=arccos(0)
ステップ 4.2.2
右辺を簡約します。
ステップ 4.2.2.1
arccos(0)arccos(0)の厳密値は9090です。
θ=90θ=90
θ=90θ=90
ステップ 4.2.3
余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、360360から参照角を引き、第四象限で解を求めます。
θ=360-90θ=360−90
ステップ 4.2.4
360360から9090を引きます。
θ=270θ=270
ステップ 4.2.5
cos(θ)cos(θ)の周期を求めます。
ステップ 4.2.5.1
関数の期間は360|b|360|b|を利用して求めることができます。
360|b|360|b|
ステップ 4.2.5.2
周期の公式のbbを11で置き換えます。
360|1|360|1|
ステップ 4.2.5.3
絶対値は数と0の間の距離です。00と11の間の距離は11です。
36013601
ステップ 4.2.5.4
360360を11で割ります。
360360
360360
ステップ 4.2.6
cos(θ)cos(θ)関数の周期が360360なので、両方向で360360度ごとに値を繰り返します。
θ=90+360n,270+360nθ=90+360n,270+360n、任意の整数nn
θ=90+360n,270+360nθ=90+360n,270+360n、任意の整数nn
θ=90+360n,270+360nθ=90+360n,270+360n、任意の整数nn
ステップ 5
ステップ 5.1
2sin(θ)-12sin(θ)−1が00に等しいとします。
2sin(θ)-1=02sin(θ)−1=0
ステップ 5.2
θθについて2sin(θ)-1=02sin(θ)−1=0を解きます。
ステップ 5.2.1
方程式の両辺に11を足します。
2sin(θ)=12sin(θ)=1
ステップ 5.2.2
2sin(θ)=12sin(θ)=1の各項を22で割り、簡約します。
ステップ 5.2.2.1
2sin(θ)=12sin(θ)=1の各項を22で割ります。
2sin(θ)2=122sin(θ)2=12
ステップ 5.2.2.2
左辺を簡約します。
ステップ 5.2.2.2.1
22の共通因数を約分します。
ステップ 5.2.2.2.1.1
共通因数を約分します。
2sin(θ)2=12
ステップ 5.2.2.2.1.2
sin(θ)を1で割ります。
sin(θ)=12
sin(θ)=12
sin(θ)=12
sin(θ)=12
ステップ 5.2.3
方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中からθを取り出します。
θ=arcsin(12)
ステップ 5.2.4
右辺を簡約します。
ステップ 5.2.4.1
arcsin(12)の厳密値は30です。
θ=30
θ=30
ステップ 5.2.5
正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、180から参照角を引き、第二象限で解を求めます。
θ=180-30
ステップ 5.2.6
180から30を引きます。
θ=150
ステップ 5.2.7
sin(θ)の周期を求めます。
ステップ 5.2.7.1
関数の期間は360|b|を利用して求めることができます。
360|b|
ステップ 5.2.7.2
周期の公式のbを1で置き換えます。
360|1|
ステップ 5.2.7.3
絶対値は数と0の間の距離です。0と1の間の距離は1です。
3601
ステップ 5.2.7.4
360を1で割ります。
360
360
ステップ 5.2.8
sin(θ)関数の周期が360なので、両方向で360度ごとに値を繰り返します。
θ=30+360n,150+360n、任意の整数n
θ=30+360n,150+360n、任意の整数n
θ=30+360n,150+360n、任意の整数n
ステップ 6
最終解はcos(θ)(2sin(θ)-1)=0を真にするすべての値です。
θ=90+360n,270+360n,30+360n,150+360n、任意の整数n
ステップ 7
270+360nと90+180nを90+360nにまとめます。
θ=90+180n,30+360n,150+360n、任意の整数n