三角関数例

\sin (2 θ) - \cos (θ) = 0

$\sin (2 θ) - \cos (θ) = 0$

ステップ 1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

2 \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) = 0

$2 \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) = 0$

ステップ 2

\cos (θ)

$\cos (θ)$ を

2 \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ)

$2 \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

\cos (θ)

$\cos (θ)$ を

2 \sin (θ) \cos (θ)

$2 \sin (θ) \cos (θ)$ で因数分解します。

\cos (θ) (2 \sin (θ)) - \cos (θ) = 0

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) - \cos (θ) = 0$

ステップ 2.2

\cos (θ)

$\cos (θ)$ を

- \cos (θ)

$- \cos (θ)$ で因数分解します。

\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot - 1 = 0

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.3

\cos (θ)

$\cos (θ)$ を

\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot - 1

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot - 1$ で因数分解します。

\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0

$\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$

\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0

$\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が

0

$0$ と等しいならば、式全体は

0

$0$ と等しくなります。

\cos (θ) = 0

$\cos (θ) = 0$

2 \sin (θ) - 1 = 0

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

ステップ 4

\cos (θ)

$\cos (θ)$ を

0

$0$ に等しくし、

θ

$θ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

\cos (θ)

$\cos (θ)$ が

0

$0$ に等しいとします。

\cos (θ) = 0

$\cos (θ) = 0$

ステップ 4.2

θ

$θ$ について

\cos (θ) = 0

$\cos (θ) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から

θ

$θ$ を取り出します。

θ = \arccos (0)

$θ = \arccos (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

\arccos (0)

$\arccos (0)$ の厳密値は

90

$90$ です。

θ = 90

$θ = 90$

θ = 90

$θ = 90$

ステップ 4.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、

360

$360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

θ = 360 - 90

$θ = 360 - 90$

ステップ 4.2.4

360

$360$ から

90

$90$ を引きます。

θ = 270

$θ = 270$

ステップ 4.2.5

\cos (θ)

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

関数の期間は

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の

b

$b$ を

1

$1$ で置き換えます。

\frac{360}{| 1 |}

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

0

$0$ と

1

$1$ の間の距離は

1

$1$ です。

\frac{360}{1}

$\frac{360}{1}$

ステップ 4.2.5.4

360

$360$ を

1

$1$ で割ります。

360

$360$

360

$360$

ステップ 4.2.6

\cos (θ)

$\cos (θ)$ 関数の周期が

360

$360$ なので、両方向で

360

$360$ 度ごとに値を繰り返します。

θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ 、任意の整数

n

$n$

θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ 、任意の整数

n

$n$

θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ 、任意の整数

n

$n$

ステップ 5

2 \sin (θ) - 1

$2 \sin (θ) - 1$ を

0

$0$ に等しくし、

θ

$θ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

2 \sin (θ) - 1

$2 \sin (θ) - 1$ が

0

$0$ に等しいとします。

2 \sin (θ) - 1 = 0

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

ステップ 5.2

θ

$θ$ について

2 \sin (θ) - 1 = 0

$2 \sin (θ) - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺に

1

$1$ を足します。

2 \sin (θ) = 1

$2 \sin (θ) = 1$

ステップ 5.2.2

2 \sin (θ) = 1

$2 \sin (θ) = 1$ の各項を

2

$2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

2 \sin (θ) = 1

$2 \sin (θ) = 1$ の各項を

2

$2$ で割ります。

\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

\sin (θ)

$\sin (θ)$ を

1

$1$ で割ります。

\sin (θ) = \frac{1}{2}

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

\sin (θ) = \frac{1}{2}

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

\sin (θ) = \frac{1}{2}

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

\sin (θ) = \frac{1}{2}

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から

θ

$θ$ を取り出します。

θ = \arcsin (\frac{1}{2})

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 5.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

\arcsin (\frac{1}{2})

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は

30

$30$ です。

θ = 30

$θ = 30$

θ = 30

$θ = 30$

ステップ 5.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、

180

$180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

θ = 180 - 30

$θ = 180 - 30$

ステップ 5.2.6

180

$180$ から

30

$30$ を引きます。

θ = 150

$θ = 150$

ステップ 5.2.7

\sin (θ)

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

関数の期間は

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 5.2.7.2

周期の公式の

b

$b$ を

1

$1$ で置き換えます。

\frac{360}{| 1 |}

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。

0

$0$ と

1

$1$ の間の距離は

1

$1$ です。

\frac{360}{1}

$\frac{360}{1}$

ステップ 5.2.7.4

360

$360$ を

1

$1$ で割ります。

360

$360$

360

$360$

ステップ 5.2.8

\sin (θ)

$\sin (θ)$ 関数の周期が

360

$360$ なので、両方向で

360

$360$ 度ごとに値を繰り返します。

θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ 、任意の整数

n

$n$

θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ 、任意の整数

n

$n$

θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ 、任意の整数

n

$n$

ステップ 6

最終解は

\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0

$\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 30 + 360 n, 150 + 360 n

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 30 + 360 n, 150 + 360 n$ 、任意の整数

n

$n$

ステップ 7

270 + 360 n

$270 + 360 n$ と

90 + 180 n

$90 + 180 n$ を

90 + 360 n

$90 + 360 n$ にまとめます。

θ = 90 + 180 n, 30 + 360 n, 150 + 360 n

$θ = 90 + 180 n, 30 + 360 n, 150 + 360 n$ 、任意の整数

n

$n$

三角関数 例

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